Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 22:12 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 21:48
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообщем вопрос таков, может показаться глупым, но есть задача к примеру такая: Доказать, что дробь [math]\frac{ 12n+1 }{ 30n+1 }[/math] несократима ни при каком натуральном n.

Я понял, что нужно доказать что числитель и знаменатель взаимно простые, то есть, имеют НОД = 1.
Долго не мог понять как это сделать, пробовал через алгоритм Евклида, но дошел до того что у меня получилось НОД(6n-1 , 3), и тут чет завис.

Решил посмотреть решение, оно таково: 5 [math]\cdot[/math] (12n + 1) – 2 [math]\cdot[/math] (30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится.
И тут я не могу понять две вещи, а именно: откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

Буду очень признателен за хоть какое нибудь объяснение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 23:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А здесь по индукции нельзя доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 01:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij писал(а):
откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

При решении использовано несколько теорем.
1. Если дробь сократима, то и числитель, и знаменатель делятся на некоторое натуральное число, большее единицы.
2. Если число a кратно числу b, то и число na кратно числу b. Здесь n - целое ненулевое число. (отсюда появились множители 5 и 2)
3. Если два числа кратны некоторому числу, то и их разность кратна этому же числу. (здесь нашли разность. Очевидно, что множители 5 и 2 были подобраны так, чтобы при нахождении разности выражений переменная n из выражения ушла, осталось только число)
4. Числа а и а+1 взаимно просты для натуральных а больших 1. (Поэтому так как 12n кратно 3, то 12n+1 не кратно 3).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 11:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij писал(а):
Долго не мог понять как это сделать, пробовал через алгоритм Евклида, но дошел до того что у меня получилось НОД(6n-1 , 3), и тут чет завис.

Вы, очевидно, делали алгоритм Евклида, используя следующее правило [math]\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)[/math]
Но у алгоритм Евклида можно применять также со следующим шагом: если [math]r[/math] - остаток от деления [math]a[/math] на [math]b[/math], то [math]\gcd(a,b)=\gcd(b,r)[/math]
И тогда получаем [math]\gcd(6n-1,3)=\gcd(3,2)=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 12:16 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij
Godij писал(а):
Решил посмотреть решение, оно таково: 5 [math]\cdot[/math] (12n + 1) – 2 [math]\cdot[/math] (30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится.
И тут я не могу понять две вещи, а именно: откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

Множители [math]5[/math] и [math]2[/math] взяты таким образом, чтобы после приведения подобных слагаемых в выражении не было буквы [math]n.[/math]

Выражение [math]12n+1[/math] не делится на [math]3,[/math] потому что [math]12n[/math] делится на [math]3,[/math] а [math]1[/math] не делится на [math]3.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 21:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 21:48
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Но у алгоритм Евклида можно применять также со следующим шагом: если [math]r[/math] - остаток от деления [math]a[/math] на [math]b[/math], то [math]\gcd(a,b)=\gcd(b,r)[/math]
И тогда получаем [math]\gcd(6n-1,3)=\gcd(3,2)=1[/math]

Спасибо что показали как можно еще применить алгоритм Евклида, вот только я не совсем понял как получился остаток 2, от деления 6n-1 на 3. Полагаю вопрос глупый, но ничего не могу с собой поделать)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте самостоятельно. Поверьте это несложно. Можно посмотреть для малых n. Подметить закономерности

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 23:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 21:48
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Попробуйте самостоятельно. Поверьте это несложно.

Спасибо что направили меня, действительно все просто.
Я посидел,подумал и понял, что по сути 6n-1 это представление числа которое не делиться на цело на 3 и имеет остаток 2, так как оно,скажем так, предшествует тому числу которое делиться на три => остаток будет 2. Я надеюсь я правильно все понял)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 05:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, все верно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти вероятность того, что образованная дробь несократима

в форуме Теория вероятностей

te4

5

197

28 окт 2022, 16:57

Дробь на дробь 24/5/2 ответ должен быть 2.4

в форуме Алгебра

victoria miros

7

303

05 апр 2023, 17:13

Дробь

в форуме Алгебра

Artur1997

1

258

10 сен 2016, 23:45

Деление на дробь

в форуме Алгебра

afraumar

2

339

10 авг 2015, 12:00

Деление на дробь

в форуме Алгебра

desska

6

461

18 июл 2015, 02:28

Десятичная дробь

в форуме Алгебра

Leos

5

218

15 апр 2022, 18:11

Алгебраическая дробь

в форуме Алгебра

mjdoom2

12

517

12 май 2016, 22:08

Цепная дробь

в форуме Теория чисел

Vodoley

1

449

16 фев 2016, 22:27

Увеличить дробь

в форуме Алгебра

youi

4

380

07 янв 2017, 14:22

Сократить дробь

в форуме Электричество и Магнетизм

Isabella

2

396

19 янв 2016, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved