Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 23:12 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 22:48
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообщем вопрос таков, может показаться глупым, но есть задача к примеру такая: Доказать, что дробь [math]\frac{ 12n+1 }{ 30n+1 }[/math] несократима ни при каком натуральном n.

Я понял, что нужно доказать что числитель и знаменатель взаимно простые, то есть, имеют НОД = 1.
Долго не мог понять как это сделать, пробовал через алгоритм Евклида, но дошел до того что у меня получилось НОД(6n-1 , 3), и тут чет завис.

Решил посмотреть решение, оно таково: 5 [math]\cdot[/math] (12n + 1) – 2 [math]\cdot[/math] (30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится.
И тут я не могу понять две вещи, а именно: откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

Буду очень признателен за хоть какое нибудь объяснение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 00:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3829
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
990 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А здесь по индукции нельзя доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 02:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 15:27
Сообщений: 1926
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 369
Спасибо получено:
1050 раз в 839 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij писал(а):
откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

При решении использовано несколько теорем.
1. Если дробь сократима, то и числитель, и знаменатель делятся на некоторое натуральное число, большее единицы.
2. Если число a кратно числу b, то и число na кратно числу b. Здесь n - целое ненулевое число. (отсюда появились множители 5 и 2)
3. Если два числа кратны некоторому числу, то и их разность кратна этому же числу. (здесь нашли разность. Очевидно, что множители 5 и 2 были подобраны так, чтобы при нахождении разности выражений переменная n из выражения ушла, осталось только число)
4. Числа а и а+1 взаимно просты для натуральных а больших 1. (Поэтому так как 12n кратно 3, то 12n+1 не кратно 3).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 12:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3031
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij писал(а):
Долго не мог понять как это сделать, пробовал через алгоритм Евклида, но дошел до того что у меня получилось НОД(6n-1 , 3), и тут чет завис.

Вы, очевидно, делали алгоритм Евклида, используя следующее правило [math]\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)[/math]
Но у алгоритм Евклида можно применять также со следующим шагом: если [math]r[/math] - остаток от деления [math]a[/math] на [math]b[/math], то [math]\gcd(a,b)=\gcd(b,r)[/math]
И тогда получаем [math]\gcd(6n-1,3)=\gcd(3,2)=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 13:16 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14751
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 896
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Godij
Godij писал(а):
Решил посмотреть решение, оно таково: 5 [math]\cdot[/math] (12n + 1) – 2 [math]\cdot[/math] (30n + 1) = 3, поэтому НОД(12n + 1, 30n + 1) равен 3 или 1. Но 12n + 1 на 3 не делится.
И тут я не могу понять две вещи, а именно: откуда появились множители 5 и 2, вначале. И почему 12n+1 не делится на 3.

Множители [math]5[/math] и [math]2[/math] взяты таким образом, чтобы после приведения подобных слагаемых в выражении не было буквы [math]n.[/math]

Выражение [math]12n+1[/math] не делится на [math]3,[/math] потому что [math]12n[/math] делится на [math]3,[/math] а [math]1[/math] не делится на [math]3.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 22:48
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Но у алгоритм Евклида можно применять также со следующим шагом: если [math]r[/math] - остаток от деления [math]a[/math] на [math]b[/math], то [math]\gcd(a,b)=\gcd(b,r)[/math]
И тогда получаем [math]\gcd(6n-1,3)=\gcd(3,2)=1[/math]

Спасибо что показали как можно еще применить алгоритм Евклида, вот только я не совсем понял как получился остаток 2, от деления 6n-1 на 3. Полагаю вопрос глупый, но ничего не могу с собой поделать)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 23:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3031
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте самостоятельно. Поверьте это несложно. Можно посмотреть для малых n. Подметить закономерности

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Godij
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 00:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 сен 2017, 22:48
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Попробуйте самостоятельно. Поверьте это несложно.

Спасибо что направили меня, действительно все просто.
Я посидел,подумал и понял, что по сути 6n-1 это представление числа которое не делиться на цело на 3 и имеет остаток 2, так как оно,скажем так, предшествует тому числу которое делиться на три => остаток будет 2. Я надеюсь я правильно все понял)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что дробь несократима
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 06:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3031
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, все верно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что несократимая дробь не может быть корнем

в форуме Алгебра

Toshikarik

3

545

06 мар 2013, 04:09

Дробь

в форуме Алгебра

Artur1997

1

84

11 сен 2016, 00:45

Цепная дробь

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

5

609

09 авг 2013, 20:52

Алгебраическая дробь

в форуме Алгебра

mjdoom2

12

192

12 май 2016, 23:08

Сократите дробь

в форуме Алгебра

lika01

5

448

16 мар 2013, 17:38

Упростить алг дробь

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

10

216

11 май 2017, 00:46

Проценто-дробь

в форуме Алгебра

UberZink

2

198

21 янв 2013, 19:37

Сократить дробь

в форуме Электричество и Магнетизм

Isabella

2

181

19 янв 2016, 13:19

Сократить дробь

в форуме Алгебра

lika01

6

381

03 апр 2013, 15:08

Увеличить дробь

в форуме Алгебра

youi

4

89

07 янв 2017, 15:22


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved