Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

При каких натуральных n
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=55762
Страница 1 из 1

Автор:  abrolechka [ 22 сен 2017, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  При каких натуральных n

При каких натуральных значениях n выражение (3n^2+5n+2)/(2n+3) также будет натуральным?

Автор:  Ellipsoid [ 22 сен 2017, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких натуральных n

Предположу, что это верно тогда (и только тогда), когда найдётся такое [math]k \in \mathbb{N}[/math], что [math]3n^2+5n+2=k(2n+3)[/math]. А вот когда оно найдётся... :D1

Автор:  Andy [ 23 сен 2017, 07:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких натуральных n

Можно заметить, что
[math]3n^2+5n+2=(2n+3) \cdot \frac{6n+1}{4} + \frac{5}{4}.[/math]

Автор:  swan [ 23 сен 2017, 09:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких натуральных n

Поскольку знаменатель [math]2n+3[/math] нечетен, то числитель можно умножить на любую степень двойки. Умножив числитель на 4, затем его безболезненно можно поделить с остатком на знаменатель.

[math]\frac{12n^2+20n+8}{2n+3}=6n+1+\frac{5}{2n+3}[/math]

Автор:  Andy [ 23 сен 2017, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких натуральных n

Ellipsoid писал(а):
Предположу, что это верно тогда (и только тогда), когда найдётся такое [math]k \in \mathbb{N}[/math], что [math]3n^2+5n+2=k(2n+3)[/math]. А вот когда оно найдётся... :D1

Andy писал(а):
Можно заметить, что
[math]3n^2+5n+2=(2n+3) \cdot \frac{6n+1}{4} + \frac{5}{4}.[/math]

Поэтому
[math]k(2n+3)=\frac{6n+1}{4} (2n+3)+\frac{5}{4},[/math]

[math]4k=(6n+1)+\frac{5}{2n+3},[/math]

правая часть полученного выражения может быть натуральным числом только при натуральном [math]n=1.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/