Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Anatole |
|
|
|
[math]x^{2}+x+2a+\frac{ a }{ x } +\frac{ a^{2} }{ x^{2} } =0[/math] Задание классическое: решить уравнение. Для профи, конечно, несложно, а вот как учебный пример мне показался - полезным. Хотелось бы посмотреть, как решит это уравнение уважаемая публика профессионалов и любителей. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Talanov |
|
|
|
[math]x^{2}+x+a+a(1+\frac{ 1}{ x } +\frac{ a}{ x^{2} }) =0[/math]
[math]x^{2}+x+a+a\frac{x^2+x+a}{x^2}=0[/math] [math](x^{2}+x+a)(1+\frac{a}{x^2})=0[/math] [math](x^{2}+x+a)(x^2+a)=0,\; x \ne 0[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Talanov "Спасибо" сказали: Anatole, Andy |
||
| Booker48 |
|
|
|
Подстановкой [math]t = x + \frac{a}{x}[/math] приводится к уравнению [math]t^2+t=0[/math].
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали: Anatole |
||
| Anatole |
|
|
|
Talanov
Красиво, но где же корни? |
||
| Вернуться к началу | ||
| pewpimkin |
|
|
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Anatole, Andy, vvvv |
||
| michel |
|
|
|
Anatole писал(а): ...при работе с учеником пришлось экспромтом придумать уравнение [math]x^{2}+x+2a+\frac{ a }{ x } +\frac{ a^{2} }{ x^{2} } =0[/math] Задание классическое: решить уравнение. Для профи, конечно, несложно, а вот как учебный пример мне показался - полезным. Хотелось бы посмотреть, как решит это уравнение уважаемая публика профессионалов и любителей. ![]() Интересный экспромт! Как в воду смотрели, только что появились сборники от Ященко для подготовки к профильному ЕГЭ 2018 года (14 вариантов заданий, издательство "Экзамен", подписано к печати 25.08.17). В первом варианте под 13 пунктом идет задача: а) Решите уравнение [math]\frac{ 9 }{ (x+1)^2 }+\frac{ (x+1)^2 }{ 16 }=3 \cdot \left( \frac{ 3 }{ x+1 }-\frac{ x+1 }{ 4 } -\frac{ 1 }{ 2 } \right)[/math] б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [math]\left[ 0;2 \right][/math], которая решается совершенно аналогично через замену переменной [math]t=\frac{ 3 }{ x+1 }-\frac{ x+1 }{ 4 }[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Anatole |
||
| Talanov |
|
|
|
Anatole писал(а): Красиво, но где же корни? Я думал найти корни большого труда не представляет. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Anatole |
|
|
|
Talanov писал(а): Я думал найти корни большого труда не представляет. Как раз это и представляет трудности для ученика. Ответ в задаче с параметром должен быть записан как у pewpimkin, а это требует некоторого исследования на множестве допустимых значений параметра. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали: Andy |
||
| Anatole |
|
|
|
Если не слышно возгласов:"Автора к барьеру!", то я сам попробую выложить свое решение.
[math][/math] После перегруппировки слагаемых [math]\left( x^{2} +2a +\frac{ a^{2} }{ x^{2 } } \right) +x+\frac{ a }{ x }=0[/math] [math]\left( x+\frac{ a }{ x } \right)^{2} +x+\frac{ a }{ x } =0[/math] [math]\left( x+\frac{ a }{ x } \right) \cdot \left( x+\frac{ a }{ x }+1\right)=0[/math] [math]\Leftrightarrow \left[\!\begin{aligned} & x+\frac{ a }{ x } =0 \\ & x+\frac{ a }{ x }+1=0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned} & \left[\!\begin{aligned} & x^{2}+a=0 \\ & x^{2}+x+a=0 \end{aligned}\right. \\ & x \ne 0 \end{aligned}\right.[/math] [math][/math] Первое уравнение имеет два решения [math]\left\{\!\begin{aligned} & \left[\!\begin{aligned} & x=\sqrt{-a} \\ & x=-\sqrt{-a} \end{aligned}\right. \\ & a < 0 \end{aligned}\right.[/math] Второе также дает два решения [math]\left\{\!\begin{aligned} & \left[\!\begin{aligned} & x_{1} =\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 } \\ & x_{2} =\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 } \end{aligned}\right. \\ & x \ne 0 \end{aligned}\right.[/math] возможно при условии неотрицательности дискриминанта [math]a \leqslant \frac{ 1 }{ 4 }[/math] Исследуя последнее в крайней точке [math]a = \frac{ 1 }{ 4 }[/math], получим [math]x= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math] Осталось исключить случай [math]x_{2} =0[/math], который возникает при [math]a=0[/math]. В этом случае, при [math]a=0[/math], правый корень попадает под запрет, и имеем только одно решение [math]x = -1[/math]. Осталось собрать и упорядочить все множество решений, как это показано у уважаемого pewpimkin: при [math]a < 0[/math] [math]-\sqrt{-a}[/math]; [math]\sqrt{-a}[/math]; [math]\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]; [math]\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math] при [math]a = 0[/math] один корень [math]-1[/math]; при [math]0< a < \frac{ 1 }{ 4 }[/math] [math]\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]; [math]\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]; при [math]a = \frac{ 1 }{ 4 }[/math] один корень [math]- \frac{ 1 }{ 2 }[/math]; при [math]a > \frac{ 1 }{ 4 }[/math] [math]\varnothing[/math] . Благодарю всех за безвозмездное участие в моем топике. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали: Flutt1 |
||
|
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |