Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 00:17 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2442
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для усложнения задачи при работе с учеником пришлось экспромтом придумать уравнение

[math]x^{2}+x+2a+\frac{ a }{ x } +\frac{ a^{2} }{ x^{2} } =0[/math]

Задание классическое: решить уравнение.

Для профи, конечно, несложно, а вот как учебный пример мне показался - полезным.

Хотелось бы посмотреть, как решит это уравнение уважаемая публика профессионалов и любителей. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 02:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8193
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x^{2}+x+a+a(1+\frac{ 1}{ x } +\frac{ a}{ x^{2} }) =0[/math]

[math]x^{2}+x+a+a\frac{x^2+x+a}{x^2}=0[/math]

[math](x^{2}+x+a)(1+\frac{a}{x^2})=0[/math]

[math](x^{2}+x+a)(x^2+a)=0,\; x \ne 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Talanov "Спасибо" сказали:
Anatole, Andy
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 02:32 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подстановкой [math]t = x + \frac{a}{x}[/math] приводится к уравнению [math]t^2+t=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 02:34 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2442
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov
Красиво, но где же корни?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 02:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6055
Cпасибо сказано: 397
Спасибо получено:
3076 раз в 2416 сообщениях
Очков репутации: 655

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Anatole, Andy, vvvv
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 14:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1453
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
532 раз в 496 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
...при работе с учеником пришлось экспромтом придумать уравнение

[math]x^{2}+x+2a+\frac{ a }{ x } +\frac{ a^{2} }{ x^{2} } =0[/math]

Задание классическое: решить уравнение.

Для профи, конечно, несложно, а вот как учебный пример мне показался - полезным.

Хотелось бы посмотреть, как решит это уравнение уважаемая публика профессионалов и любителей. :)

Интересный экспромт! Как в воду смотрели, только что появились сборники от Ященко для подготовки к профильному ЕГЭ 2018 года (14 вариантов заданий, издательство "Экзамен", подписано к печати 25.08.17). В первом варианте под 13 пунктом идет задача:
а) Решите уравнение [math]\frac{ 9 }{ (x+1)^2 }+\frac{ (x+1)^2 }{ 16 }=3 \cdot \left( \frac{ 3 }{ x+1 }-\frac{ x+1 }{ 4 } -\frac{ 1 }{ 2 } \right)[/math]
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [math]\left[ 0;2 \right][/math],
которая решается совершенно аналогично через замену переменной [math]t=\frac{ 3 }{ x+1 }-\frac{ x+1 }{ 4 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 14:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8193
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
Красиво, но где же корни?

Я думал найти корни большого труда не представляет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 15:00 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2442
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov писал(а):
Я думал найти корни большого труда не представляет.

Как раз это и представляет трудности для ученика.
Ответ в задаче с параметром должен быть записан как у pewpimkin, а это требует некоторого исследования на множестве допустимых значений параметра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Экспромт
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 21:49 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2442
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не слышно возгласов:"Автора к барьеру!", то я сам попробую выложить свое решение.

[math][/math]

После перегруппировки слагаемых

[math]\left( x^{2} +2a +\frac{ a^{2} }{ x^{2 } } \right) +x+\frac{ a }{ x }=0[/math]

[math]\left( x+\frac{ a }{ x } \right)^{2} +x+\frac{ a }{ x } =0[/math]

[math]\left( x+\frac{ a }{ x } \right) \cdot \left( x+\frac{ a }{ x }+1\right)=0[/math]

[math]\Leftrightarrow \left[\!\begin{aligned}
& x+\frac{ a }{ x } =0 \\
& x+\frac{ a }{ x }+1=0
\end{aligned}\right.[/math]
[math]\Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}
& \left[\!\begin{aligned}
& x^{2}+a=0 \\
& x^{2}+x+a=0
\end{aligned}\right. \\
& x \ne 0
\end{aligned}\right.[/math]
[math][/math]


Первое уравнение имеет два решения [math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left[\!\begin{aligned}
& x=\sqrt{-a} \\
& x=-\sqrt{-a}
\end{aligned}\right. \\
& a < 0
\end{aligned}\right.[/math]


Второе также дает два решения [math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left[\!\begin{aligned}
& x_{1} =\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 } \\
& x_{2} =\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 }
\end{aligned}\right. \\
& x \ne 0
\end{aligned}\right.[/math]
возможно при условии неотрицательности дискриминанта [math]a \leqslant \frac{ 1 }{ 4 }[/math]

Исследуя последнее в крайней точке [math]a = \frac{ 1 }{ 4 }[/math], получим [math]x= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Осталось исключить случай [math]x_{2} =0[/math], который возникает при [math]a=0[/math]. В этом случае, при [math]a=0[/math], правый корень попадает под запрет, и имеем только одно решение [math]x = -1[/math].

Осталось собрать и упорядочить все множество решений, как это показано у уважаемого pewpimkin:

при [math]a < 0[/math] [math]-\sqrt{-a}[/math]; [math]\sqrt{-a}[/math]; [math]\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]; [math]\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]

при [math]a = 0[/math] один корень [math]-1[/math];

при [math]0< a < \frac{ 1 }{ 4 }[/math] [math]\frac{ -1-\sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math]; [math]\frac{ -1 + \sqrt{1-4a} }{ 2 }[/math];

при [math]a = \frac{ 1 }{ 4 }[/math] один корень [math]- \frac{ 1 }{ 2 }[/math];

при [math]a > \frac{ 1 }{ 4 }[/math] [math]\varnothing[/math] .

Благодарю всех за безвозмездное участие в моем топике. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
Flutt1
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 34


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved