Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение с 2 неизвестными
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=55492
Страница 1 из 1

Автор:  Flutt1 [ 23 авг 2017, 16:08 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение с 2 неизвестными

Всем добрый вечер!
Подскажите пожалуйста, как решается такое уравнение ?
[math]\quad[/math]
[math]\frac{ 1 }{ a } + \frac{ 1 }{ b } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
[math]\quad[/math]
Понятно, что можно заметить решения такие как [math](3,6);(6,3);(4,4)[/math], но можно как-то доказать, что других не существует?
Или как-нибудь сузить область подбора, чтобы перебрать оставшиеся, и доказать, что других нет?

Автор:  Andy [ 23 авг 2017, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

В целых числах существуют ещё такие решения [math]a=1,~b=-2;~a=-2,~b=1.[/math]

Автор:  Avgust [ 23 авг 2017, 19:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

Наличие только пяти решений следует из

[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]

Автор:  Booker48 [ 23 авг 2017, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

Avgust писал(а):
Наличие только пяти решений следует из
[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]

Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых [math]a[/math], но одно из них не попадает в ОДЗ.

Автор:  Flutt1 [ 24 авг 2017, 02:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

Avgust писал(а):
Наличие только пяти решений следует из

[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]


Я так понимаю, что вы имели ввиду, что если перебирать [math]a[/math] от [math]-2[/math] до, например, [math]10[/math], то, начиная с[math]a=7[/math], [math]b[/math] целым, вроде, не получается. Но как теперь это доказать?


Booker48 писал(а):
Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых a, но одно из них не попадает в ОДЗ.

А почему здесь [math]4[/math], а не [math]2a[/math] ?

Автор:  Booker48 [ 24 авг 2017, 03:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

Flutt1 писал(а):
А почему здесь 4, а не 2a?

Потому что
[math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math]

Автор:  Flutt1 [ 24 авг 2017, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение с 2 неизвестными

Booker48 писал(а):
Flutt1 писал(а):
А почему здесь 4, а не 2a?

Потому что
[math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math]

Спасибо! Кажется, я понял:
Если составить систему
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left| a-2 \right| \leqslant 4 \\
& (a-2) \vdots 2
\end{aligned}\right.[/math]

[math]\quad[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left[\!\begin{aligned}
& a \geqslant -2 \\
& a \leqslant 6
\end{aligned}\right. \\
& a \vdots 2
\end{aligned}\right.[/math]

Тогда с учетом ОДЗ получаем, что ([math]a = -2, b = 1[/math]) ([math]a = 4, b = 4[/math]) ([math]a = 6, b = 3[/math]), а так как уравнение симметрично, то получаем еще и ([math]a = 1, b = -2[/math]) и ([math]a = 3, b = 6[/math])

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/