Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Уравнение с 2 неизвестными http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=55492 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Flutt1 [ 23 авг 2017, 16:08 ] |
Заголовок сообщения: | Уравнение с 2 неизвестными |
Всем добрый вечер! Подскажите пожалуйста, как решается такое уравнение ? [math]\quad[/math] [math]\frac{ 1 }{ a } + \frac{ 1 }{ b } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]\quad[/math] Понятно, что можно заметить решения такие как [math](3,6);(6,3);(4,4)[/math], но можно как-то доказать, что других не существует? Или как-нибудь сузить область подбора, чтобы перебрать оставшиеся, и доказать, что других нет? |
Автор: | Andy [ 23 авг 2017, 18:48 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
В целых числах существуют ещё такие решения [math]a=1,~b=-2;~a=-2,~b=1.[/math] |
Автор: | Avgust [ 23 авг 2017, 19:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
Наличие только пяти решений следует из [math]b=\frac{2a}{a-2}[/math] |
Автор: | Booker48 [ 23 авг 2017, 20:02 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
Avgust писал(а): Наличие только пяти решений следует из [math]b=\frac{2a}{a-2}[/math] Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых [math]a[/math], но одно из них не попадает в ОДЗ. |
Автор: | Flutt1 [ 24 авг 2017, 02:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
Avgust писал(а): Наличие только пяти решений следует из [math]b=\frac{2a}{a-2}[/math] Я так понимаю, что вы имели ввиду, что если перебирать [math]a[/math] от [math]-2[/math] до, например, [math]10[/math], то, начиная с[math]a=7[/math], [math]b[/math] целым, вроде, не получается. Но как теперь это доказать? Booker48 писал(а): Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых a, но одно из них не попадает в ОДЗ. А почему здесь [math]4[/math], а не [math]2a[/math] ? |
Автор: | Booker48 [ 24 авг 2017, 03:46 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
Flutt1 писал(а): А почему здесь 4, а не 2a? Потому что [math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math] |
Автор: | Flutt1 [ 24 авг 2017, 09:13 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Уравнение с 2 неизвестными |
Booker48 писал(а): Flutt1 писал(а): А почему здесь 4, а не 2a? Потому что [math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math] Спасибо! Кажется, я понял: Если составить систему [math]\left\{\!\begin{aligned} & \left| a-2 \right| \leqslant 4 \\ & (a-2) \vdots 2 \end{aligned}\right.[/math] [math]\quad[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & \left[\!\begin{aligned} & a \geqslant -2 \\ & a \leqslant 6 \end{aligned}\right. \\ & a \vdots 2 \end{aligned}\right.[/math] Тогда с учетом ОДЗ получаем, что ([math]a = -2, b = 1[/math]) ([math]a = 4, b = 4[/math]) ([math]a = 6, b = 3[/math]), а так как уравнение симметрично, то получаем еще и ([math]a = 1, b = -2[/math]) и ([math]a = 3, b = 6[/math]) |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |