Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 17:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем добрый вечер!
Подскажите пожалуйста, как решается такое уравнение ?
[math]\quad[/math]
[math]\frac{ 1 }{ a } + \frac{ 1 }{ b } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
[math]\quad[/math]
Понятно, что можно заметить решения такие как [math](3,6);(6,3);(4,4)[/math], но можно как-то доказать, что других не существует?
Или как-нибудь сузить область подбора, чтобы перебрать оставшиеся, и доказать, что других нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 19:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В целых числах существуют ещё такие решения [math]a=1,~b=-2;~a=-2,~b=1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 20:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наличие только пяти решений следует из

[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 21:02 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Наличие только пяти решений следует из
[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]

Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых [math]a[/math], но одно из них не попадает в ОДЗ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 03:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Наличие только пяти решений следует из

[math]b=\frac{2a}{a-2}[/math]


Я так понимаю, что вы имели ввиду, что если перебирать [math]a[/math] от [math]-2[/math] до, например, [math]10[/math], то, начиная с[math]a=7[/math], [math]b[/math] целым, вроде, не получается. Но как теперь это доказать?


Booker48 писал(а):
Точнее, из того, что выражение [math]\frac{4}{a-2}[/math] имеет 6 целых значений при целых a, но одно из них не попадает в ОДЗ.

А почему здесь [math]4[/math], а не [math]2a[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 04:46 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 714
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Flutt1 писал(а):
А почему здесь 4, а не 2a?

Потому что
[math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с 2 неизвестными
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 10:13 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Flutt1 писал(а):
А почему здесь 4, а не 2a?

Потому что
[math]b=\frac{2a}{a-2}=2+\frac{4}{a-2}[/math]

Спасибо! Кажется, я понял:
Если составить систему
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left| a-2 \right| \leqslant 4 \\
& (a-2) \vdots 2
\end{aligned}\right.[/math]

[math]\quad[/math]
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \left[\!\begin{aligned}
& a \geqslant -2 \\
& a \leqslant 6
\end{aligned}\right. \\
& a \vdots 2
\end{aligned}\right.[/math]

Тогда с учетом ОДЗ получаем, что ([math]a = -2, b = 1[/math]) ([math]a = 4, b = 4[/math]) ([math]a = 6, b = 3[/math]), а так как уравнение симметрично, то получаем еще и ([math]a = 1, b = -2[/math]) и ([math]a = 3, b = 6[/math])

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение с 2 неизвестными

в форуме Алгебра

andre12344333

5

113

13 янв 2017, 22:57

Как решить уравнение с 3-мя неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Vagens

8

51

Вчера, 17:40

Уравнение с тремя неизвестными

в форуме Алгебра

Pashx

4

97

22 июл 2017, 02:10

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

smirnov_andrey

2

196

30 ноя 2011, 21:02

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Worid

10

649

11 сен 2013, 17:07

Уравнение с двумя неизвестными

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

albertg

1

296

10 фев 2013, 18:04

Решить уравнение с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

darky

3

300

06 окт 2013, 20:44

Решить уравнение с двумя неизвестными (С1)

в форуме Алгебра

Alyonka_smile

4

407

28 сен 2012, 16:00

Алгебраическое уравнение с двумя неизвестными - Как решить?

в форуме Алгебра

vovans

22

466

26 окт 2011, 18:23

Докажите,что уравнение с двумя неизвестными не имеет решений

в форуме Алгебра

VikaDasha

1

261

06 сен 2013, 18:58


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved