Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: ММИ
СообщениеДобавлено: 21 июл 2017, 11:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 10:27
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что n прямых на плоскости разбивают эту плоскость не более чем на [math]\frac{ n \cdot (n+1) }{ 2 } + 1[/math] часть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ММИ
СообщениеДобавлено: 21 июл 2017, 12:54 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7836
Cпасибо сказано: 244
Спасибо получено:
2864 раз в 2644 сообщениях
Очков репутации: 502

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сначала надо показать (доказать), что только [math]n[/math] прямых общего вида (никакие две из них не параллельны и никакие три из них не пересекаются в одной точке) разбивают плоскость на максимальное число областей. Для индукционного перехода [math]n \to n+1[/math] ([math]n>1[/math]) достаточно геометрически установить, что при проведении очередной [math]n+1[/math] - й прямой добавляются [math]n+1[/math] новых областей

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Vitko
 Заголовок сообщения: Re: ММИ
СообщениеДобавлено: 23 июл 2017, 13:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 мар 2016, 13:17
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
8 раз в 8 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Будем считать, что никакие две прямые не параллельны и в каждой точке пересекаются не более трех прямых.
Проведем доказательство по индукции:
1) 1 прямая разбивает плоскость на 2 часть, 2 прямые - на 4 части, что согласуется с формулой.
2) Теперь пусть, при [math]n=k[/math], [math]k[/math] прямых разбивают плоскость
на [math]\frac{k(k+1)}2+1[/math] областей.
3) тогда, если взять [math]k+1[/math]-ю прямую, не параллельную всем [math]k[/math], рассмотренным ранее,
такую, что все точки пересечения рассмотренных ранее прямых лежат по одну сторону от новой, эта прямая
пересечет все [math]k[/math] прямых и ограничит новые [math]k+1[/math] области.
Общее количество областей будет
[math]\frac{k(k+1)}2+1+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}2+1=\frac{n(n+1)}2+1[/math],
где [math]n=k+1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved