Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 14:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июл 2017, 14:21
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано, что:

[math]\begin{cases}

{(a+b)}\mid {c}\\
{(a-b)}\nmid {c}\\

\end{cases}[/math]


Надо док-ть, что из этого следует, что:

[math]\begin{cases}

{a}\nmid {c}\\
{b}\nmid {c}\\

\end{cases}[/math]


Я не знаю как это решить, и я вообще не уверен, что это верное утверждение.
Например, при [math]{a = 7}, {b = 4}[/math], которые не делятся на 3, первая система не работает:

[math]\begin{cases}

{11}\nmid {3}\\
{3}\mid {3}\\

\end{cases}[/math]


Однако, оно в книжке по алгебре написано, как задание, которое надо выполнить. Поэтому, возможно, я что-то не понимаю.

Помогите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 14:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июл 2017, 14:21
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пробовал несколько методов, выходит некрасиво все. Единственный метод, который вроде как сработал это док-во от противного.

Я рассматривал все возможные случаи, т.е. когда в следствии первой системы получаются:

1. Оказался неверный.
[math]\begin{cases}

{a} \mid {c} \\
{b} \mid {c} \\

\end{cases}[/math]



2. Оказался неверный.
[math]\begin{cases}

{a} \nmid {c} \\
{b} \mid {c} \\

\end{cases}[/math]



3. Оказался неверный.
[math]\begin{cases}

{a} \mid {c} \\
{b} \nmid {c} \\

\end{cases}[/math]



4. Тот, который надо док-ть остался, соответственно он верный??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 15:31 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pinkVeil писал(а):
Однако, оно в книжке по алгебре написано, как задание, которое надо выполнить.

В какой книжке написано и правильно ли списано? И какое число является кратным - левое или правое от вертикальной черты? :crazy:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 15:32 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вероятно, тут метод "от противного" может и не работать, поскольку утверждение, как кажется, "одностороннее" -- из первой системы следует вторая. То есть, первой системы "достаточно" для второй, но не "необходимо" (Ваш пример с 7 и 4 это показывает). Или подобный пример - 7 и 5, оба на 2 не делятся, а их сумма и разность - делятся.

Я бы размышлял так. В первом уравнении поделим отдельно а и b на c. Получим либо целые числа, либо неправильные дроби, из которых выделим целую часть:
[math]\frac{a+b}{c}=A\frac{a'}{c}+B\frac{b'}{c}[/math]

В дробных частях числители заведомо меньше c и сумма дробных частей не может достигнуть 2с. Чтобы сумма делилась, необходимо [math]a'+b' = c[/math]. (Или, если оба числа делятся, [math]a'=b'=0[/math], других вариантов нет, так как отдельно a' и b' не могут достигнуть c, они всегда меньше. Один "нуль" и один "не нуль" невозможны.

Чтобы разность не делилась, необходимо [math]a'-b'\neq 0[/math]. Это условие делает невозможным случай [math]a'=b'=0[/math], а заодно и варианты с равными дробными частями. Так что остаётся [math]a'\neq0, b'\neq0, a'\neq b'[/math], то есть, оба исходных числа должны быть неделящимися на c.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 15:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вы что доказываете? Как вы понимаете выражение [math]a|b[/math]? Как a делится на b, или a делит b?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 16:58 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48, верное замечание. Похоже, вопрос о том, делят ли "сумма" и "разность" некоторое число C.

Но для неё есть контрпример - 7, 1, 56. Сумма 7+1 делит 56, разность 7-1 не делит, но в отдельности 7 и 1 делят.

Или, если есть сомнения в "единице" из-за тривиальности, тогда так: [math]a=13, b=2, c=(13+2)\cdot13\cdot2[/math]. Сумма [math](a+b)=(13+2)[/math], понятно, делит число С. Разность [math](a-b)=(13-2)=11[/math] - не делит. Условия первой системы выполнены. Но здесь и 13, и 2 являются делителями числа С. Так что вторая система нигде не соблюдается. Доказывать нечего, ибо утверждение неверно.

Примечание - такое ощущение, что в этом задачнике где-то упоминаются дополнительные условия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали:
Booker48
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 07 июл 2017, 17:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas, в том и дело, что использованная ТС форма записи принята для (a + b) является делителем c. Например, см. Бухштаба, да хоть вики, статья "Делимость". И это, как вы показали, неправильное утверждение.

Обратное же легко доказывается от противного. "Контрпример" ТС некорректен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 13:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июл 2017, 14:21
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет всем, кто ответил.

Я списал правильно/

Я не нашел в латексе эквивалента русского симвла делимости и неделимости (без остатка), т.е. подобного символу [math]\vdots[/math], поэтому использовал то, что нашел.

Вот скрин задания:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 13:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июл 2017, 14:21
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему мой контрпример некорректный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать делимость
СообщениеДобавлено: 08 июл 2017, 13:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Контрпример - это когда Вы приводите пример таких чисел а, б и с, что для них выполняется условие задачи, но не выполняется то, что нужно было доказать. То есть 7+4 должно делиться на 3, а 7-4 не делиться на 3. Как видите, условие задачи не выполнено, поэтому считать это контрпримером нельзя, строить на этом рассуждения по доказательству бессмысленно.

Решать пункт а) можно примерно так:
a+b делится на с, значит можно представить
a+b=cn, где n - целое число.

a-b не делится на с, значит
a-b=cm+r, где m,r - целые числа и 0<r<c. (r - ненулевой остаток от деления на с)

Теперь сложим эти два равенства:
(a+b)+(a-b)=cn+cm+r
2a=c(n+m)+r
Выражение справа не делится на с, значит и 2а не делится на с, следовательно, а тем более не делится на с.
Для а утверждение доказано.


Последний раз редактировалось radix 08 июл 2017, 13:59, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
pinkVeil
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать делимость на 9

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

0

180

17 дек 2022, 01:09

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

Alexandr_efremov

1

518

14 янв 2018, 19:27

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

global_silence

5

578

11 июн 2017, 20:05

Доказать делимость

в форуме Алгебра

Nastya Way

2

542

26 ноя 2015, 20:11

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

KOPMOPAH

1

203

17 ноя 2022, 02:09

Доказать делимость

в форуме Алгебра

mishashisha999

1

122

27 сен 2021, 21:18

Доказать делимость

в форуме Теория чисел

Windrunner

5

501

06 сен 2015, 23:36

Доказать делимость выражения

в форуме Алгебра

north13anastasia

5

442

19 ноя 2016, 03:18

Доказать делимость выражения

в форуме Теория чисел

Freulein

2

461

14 окт 2016, 16:17

Доказать делимость методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Nastya Way

7

721

22 июн 2015, 16:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dr Watson и гости: 39


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved