Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
pinkVeil |
|
|
[math]\begin{cases} {(a+b)}\mid {c}\\ {(a-b)}\nmid {c}\\ \end{cases}[/math] Надо док-ть, что из этого следует, что: [math]\begin{cases} {a}\nmid {c}\\ {b}\nmid {c}\\ \end{cases}[/math] Я не знаю как это решить, и я вообще не уверен, что это верное утверждение. Например, при [math]{a = 7}, {b = 4}[/math], которые не делятся на 3, первая система не работает: [math]\begin{cases} {11}\nmid {3}\\ {3}\mid {3}\\ \end{cases}[/math] Однако, оно в книжке по алгебре написано, как задание, которое надо выполнить. Поэтому, возможно, я что-то не понимаю. Помогите, пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
pinkVeil |
|
|
Пробовал несколько методов, выходит некрасиво все. Единственный метод, который вроде как сработал это док-во от противного.
Я рассматривал все возможные случаи, т.е. когда в следствии первой системы получаются: 1. Оказался неверный. [math]\begin{cases} {a} \mid {c} \\ {b} \mid {c} \\ \end{cases}[/math] 2. Оказался неверный. [math]\begin{cases} {a} \nmid {c} \\ {b} \mid {c} \\ \end{cases}[/math] 3. Оказался неверный. [math]\begin{cases} {a} \mid {c} \\ {b} \nmid {c} \\ \end{cases}[/math] 4. Тот, который надо док-ть остался, соответственно он верный?? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
pinkVeil писал(а): Однако, оно в книжке по алгебре написано, как задание, которое надо выполнить. В какой книжке написано и правильно ли списано? И какое число является кратным - левое или правое от вертикальной черты? |
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
Вероятно, тут метод "от противного" может и не работать, поскольку утверждение, как кажется, "одностороннее" -- из первой системы следует вторая. То есть, первой системы "достаточно" для второй, но не "необходимо" (Ваш пример с 7 и 4 это показывает). Или подобный пример - 7 и 5, оба на 2 не делятся, а их сумма и разность - делятся.
Я бы размышлял так. В первом уравнении поделим отдельно а и b на c. Получим либо целые числа, либо неправильные дроби, из которых выделим целую часть: [math]\frac{a+b}{c}=A\frac{a'}{c}+B\frac{b'}{c}[/math] В дробных частях числители заведомо меньше c и сумма дробных частей не может достигнуть 2с. Чтобы сумма делилась, необходимо [math]a'+b' = c[/math]. (Или, если оба числа делятся, [math]a'=b'=0[/math], других вариантов нет, так как отдельно a' и b' не могут достигнуть c, они всегда меньше. Один "нуль" и один "не нуль" невозможны. Чтобы разность не делилась, необходимо [math]a'-b'\neq 0[/math]. Это условие делает невозможным случай [math]a'=b'=0[/math], а заодно и варианты с равными дробными частями. Так что остаётся [math]a'\neq0, b'\neq0, a'\neq b'[/math], то есть, оба исходных числа должны быть неделящимися на c. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
А вы что доказываете? Как вы понимаете выражение [math]a|b[/math]? Как a делится на b, или a делит b?
|
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
Booker48, верное замечание. Похоже, вопрос о том, делят ли "сумма" и "разность" некоторое число C.
Но для неё есть контрпример - 7, 1, 56. Сумма 7+1 делит 56, разность 7-1 не делит, но в отдельности 7 и 1 делят. Или, если есть сомнения в "единице" из-за тривиальности, тогда так: [math]a=13, b=2, c=(13+2)\cdot13\cdot2[/math]. Сумма [math](a+b)=(13+2)[/math], понятно, делит число С. Разность [math](a-b)=(13-2)=11[/math] - не делит. Условия первой системы выполнены. Но здесь и 13, и 2 являются делителями числа С. Так что вторая система нигде не соблюдается. Доказывать нечего, ибо утверждение неверно. Примечание - такое ощущение, что в этом задачнике где-то упоминаются дополнительные условия. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали: Booker48 |
||
Booker48 |
|
|
Xmas, в том и дело, что использованная ТС форма записи принята для (a + b) является делителем c. Например, см. Бухштаба, да хоть вики, статья "Делимость". И это, как вы показали, неправильное утверждение.
Обратное же легко доказывается от противного. "Контрпример" ТС некорректен. |
||
Вернуться к началу | ||
pinkVeil |
|
|
Привет всем, кто ответил.
Я списал правильно/ Я не нашел в латексе эквивалента русского симвла делимости и неделимости (без остатка), т.е. подобного символу [math]\vdots[/math], поэтому использовал то, что нашел. Вот скрин задания: |
||
Вернуться к началу | ||
pinkVeil |
|
|
Почему мой контрпример некорректный?
|
||
Вернуться к началу | ||
radix |
|
|
Контрпример - это когда Вы приводите пример таких чисел а, б и с, что для них выполняется условие задачи, но не выполняется то, что нужно было доказать. То есть 7+4 должно делиться на 3, а 7-4 не делиться на 3. Как видите, условие задачи не выполнено, поэтому считать это контрпримером нельзя, строить на этом рассуждения по доказательству бессмысленно.
Решать пункт а) можно примерно так: a+b делится на с, значит можно представить a+b=cn, где n - целое число. a-b не делится на с, значит a-b=cm+r, где m,r - целые числа и 0<r<c. (r - ненулевой остаток от деления на с) Теперь сложим эти два равенства: (a+b)+(a-b)=cn+cm+r 2a=c(n+m)+r Выражение справа не делится на с, значит и 2а не делится на с, следовательно, а тем более не делится на с. Для а утверждение доказано. Последний раз редактировалось radix 08 июл 2017, 13:59, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали: pinkVeil |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать делимость на 9 | 0 |
180 |
17 дек 2022, 01:09 |
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
1 |
518 |
14 янв 2018, 19:27 |
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
5 |
578 |
11 июн 2017, 20:05 |
|
Доказать делимость
в форуме Алгебра |
2 |
542 |
26 ноя 2015, 20:11 |
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
1 |
203 |
17 ноя 2022, 02:09 |
|
Доказать делимость
в форуме Алгебра |
1 |
122 |
27 сен 2021, 21:18 |
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
5 |
501 |
06 сен 2015, 23:36 |
|
Доказать делимость выражения
в форуме Алгебра |
5 |
442 |
19 ноя 2016, 03:18 |
|
Доказать делимость выражения
в форуме Теория чисел |
2 |
461 |
14 окт 2016, 16:17 |
|
Доказать делимость методом математической индукции
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
7 |
721 |
22 июн 2015, 16:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: dr Watson и гости: 39 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |