Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вывести тождество из условий
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=54561
Страница 1 из 1

Автор:  Pavel_Kotoff [ 19 май 2017, 02:38 ]
Заголовок сообщения:  Вывести тождество из условий

Виленкин № 204, стр. 80.http://img.gdz-online.ws/30739428/80.jpg
Докажите, что если справедливо
[math]a^{3}[/math]+[math]b^{3}[/math]+[math]c^{3}[/math] [math]=\left( a+b \right)[/math][math]\left( a+c \right)[/math][math]\left( b+c \right)[/math], и ([math]b^{2}[/math]+[math]c^{2}[/math]-[math]2^{2}[/math]) [math]\cdot[/math] x =([math]c^{2}[/math]+[math]a^{2}[/math]-[math]b^{2}[/math]) [math]\cdot[/math] y = ([math]a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]-[math]c^{2}[/math]) [math]\cdot[/math] z, тогда
[math]x^{3}[/math]+[math]y^{3}[/math]+[math]z^{3}[/math] [math]=[/math][math]\left( x+y \right)[/math][math]\left( x+z \right)[/math][math]\left( y+z \right)[/math]
Сам я дошёл до оного:
[math]\left( a+b \right)[/math][math]\left( a+c \right)[/math][math]\left( b+c \right)[/math] -[math]a^{3}[/math]-[math]b^{3}[/math]-[math]c^{3}[/math] [math]=c\cdot \left( a^{2}+b^{2} -c ^{2} \right)[/math]+ b [math]\cdot \left( a^{2}+c^{2} -b ^{2} \right)+[/math] a [math]\cdot \left( b^{2}+c^{2} -a ^{2} \right)+2abc = 0[/math];

c[math]\cdot \left( a^{2}+b^{2} -c ^{2} \right)[/math] [math]\cdot xyz[/math] + b [math]\cdot \left( a^{2}+c^{2} -b ^{2} \right) \cdot xyz+[/math] a [math]\cdot \left( b^{2}+c^{2} -a ^{2} \right) \cdot xyz+2abc \cdot xyz = 0[/math];
Ну, а дальше-то что?
Это вот? :(

c[math]\cdot \left( b^{2}+c^{2} -a^{2} \right)[/math] [math]\cdot x^{2} y[/math] + b [math]\cdot \left( a^{2}+b^{2} -c^{2} \right) \cdot xz^{2} +[/math] a [math]\cdot \left( a^{2}+c^{2} -b ^{2} \right) \cdot y^{2} z+2abc \cdot xyz = 0[/math];

Автор:  Pavel_Kotoff [ 19 май 2017, 14:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вывести тождество из условий

Условие 2
[math]\frac{ x }{ c^2+a^2-c^2 }[/math]=[math]\frac{ y }{ b^2+c^2-a^2 }[/math]; [math]\frac{ z }{ c^2+a^2-b^2 }[/math] = [math]\frac{ y }{ a^2+b^2-c^2 }[/math]

x=y=z;
[math]c^{2}[/math] + [math]a^{2}[/math] -[math]b^{2}[/math]=[math]b^{2}[/math] + [math]c^{2}[/math] -[math]a^{2}[/math] =[math]a^{2}[/math] + [math]b^{2}[/math] -[math]c^{2}[/math];
[math]a^{2}[/math]= [math]b^{2}[/math]= [math]c^{2}[/math]

Автор:  Pavel_Kotoff [ 20 май 2017, 01:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вывести тождество из условий

Спасибо ресурсу, нашёл старую тему (через поиск Гугл), в принципе, разобрался. Из симметрических многочленов задача...
viewtopic.php?f=10&t=6434

Ох, чего только я не городил, чтоб в симметрические многочлены не нырять.))) :D1

Автор:  Pavel_Kotoff [ 20 май 2017, 23:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вывести тождество из условий

Ну что, начинаем КВН?
Итак, полагаем [math]t=(a^{2}+c^{2}-a^{2}) \cdot x =(c^{2}+a^{2}-b^{2})\cdot y=(a^{2}+b^{2}-c^{2})\cdot y[/math]

[math]x=\frac{ t }{ (a^{2}+c^{2}-a^{2}) }[/math];[math]y=\frac{ t }{ (c^{2}+a^{2}-b^{2}) }[/math];[math]z=\frac{ t }{ (a^{2}+b^{2}-c^{2}) }[/math]
Подставляем в выражение
[math]x^{3}+y^{3}+x^{3} = (x+y) \cdot (x+z) \cdot (y+z)[/math]

Имеем
[math]\frac{ t^{3} }{ (a^{2}+c^{2}-a^{2})^{3} }[/math]+ [math]\frac{ t^{3} }{ (c^{2}+a^{2}-b^{2})^{3} }[/math] + [math]\frac{ t^{3} }{ (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3} }[/math]=[math](\frac{ t }{ (b^{2}+c^{2}-a^{2})}+\frac{ t }{ (c^{2}+a^{2}-b^{2})})[/math] [math]\cdot[/math] [math](\frac{ t }{ (b^{2}+c^{2}-a^{2})}+\frac{ t }{ (a^{2}+b^{2}-c^{2})})[/math][math]\cdot[/math] [math](\frac{ t }{ (c^{2}+a^{2}-b^{2})}+\frac{ t }{ (a^{2}+b^{2}-c^{2})})[/math] [math]=\frac{ t^{3}\cdot 2a^{2} \cdot 2b^{2}\cdot 2c^{2} }{ (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2} \cdot(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}\cdot(c^{2}+a^{2}-b^{2}) }[/math] [math]=

\frac{ t^{3} \cdot [ (c^{2}+a^{2}-b^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{3} \cdot(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{3}] }{ (c^{2}+b^{2}-a^{2})^{3} \cdot(a^{2}+c^{2}-b^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3} }[/math]
;

Умножаем тождество на [math](c^{2}+b^{2}-a^{2})^{3} \cdot(a^{2}+c^{2}-b^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3}[/math] и сокращаем на [math]t^{3}[/math]

Получаем [math]2a^{2} \cdot2b^{2}\cdot2c^{2} \cdot(c^{2}+b^{2}-a^{2}) \cdot(a^{2}+c^{2}-b^{2})\cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})[/math] =[math](c^{2}+a^{2}-b^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{3} \cdot(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{3}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{3} \cdot(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{3}[/math]
Ребята, вы что издеваетесь?)))) :) С таким крокодилом возиться, вы что, серьёзно что ли? Мама миа.)
Может, я где-то ошибся?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/