Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что число sqrt(X) является иррациональным
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 11:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет!

У меня есть вопрос (не знаю, можно ли отнести это к школьной математике, но все таки):

Почему доказательство иррациональности чисел [math]\sqrt{2}[/math] и [math]\sqrt{3}[/math] отличаются друг от друга?

Доказательство для [math]\sqrt{2}[/math]:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... B8%D0%B7_2

Идем от противного: допустим [math]\sqrt{2}[/math] - рациональное, т.е. представимо в виде дроби натуральных чисел m/n.
Поэтому m^2 / n^2 = 2, m^2 = 2 * n^2
Раскладывая m и n на простые множители получаем, что m и n содержат x и y двоек соответственно (где x,y - натуральные числа), их квадраты содержат 2* x и 2 * y соответственно, а значит 2x = 2y + 1 (+1 из-за этой двойки справа в уравнении)
x = y + 0.5, а это невозможно, поскольку x и y - натуральные


Доказательство для [math]\sqrt{3}[/math]:
http://oftob.ru/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B ... 0%BB%D0%BE

Идем от противного: допустим [math]\sqrt{3}[/math] - рациональное, т.е. представимо в виде несократимой дроби натуральных чисел m/n.
Поэтому m^2 / n^2 = 3, m^2 = 3 * n^2

Отсюда следует, что m кратно 3 (поскольку если m^2 кратно 3, то и m кратно 3). Допустим m (кратное 3) можно представить в виде m = 3 * r, тогда
m^2=(3*r)^2=9*r^2=3*n^2 => n^2=3*r^2

Следовательно n^2 кратно 3, а значит и n кратно 3, т.е. и m и n кратно 3, что противоречит несократимости дроби m/n.



Итак:
Меня интересует вопрос, почему к числу 3 не была применена более простая логика, используемая в доказательстве иррациональности [math]\sqrt{2}[/math]?

Ведь и там и там будем получать дробную степень 2 (или 3), что приводит к противоречию. Аналогично можно для числа 6 например (там дробные степени 2 и 3 сразу будут)

Или я чего-то не улавливаю? Т.е. почему нельзя для 3 (5, и т.д., вообще для любого простого числа МИНИМУМ) дать такое доказательство

Идем от противного: допустим [math]\sqrt{p}[/math] - (где p - простое число) рациональное, т.е. представимо в виде дроби натуральных чисел m/n.
Поэтому m^2 / n^2 = p, m^2 = p * n^2
Раскладывая m и n на простые множители получаем, что m и n содержат x и y p-шек соответственно (где x,y - натуральные числа и может быть 0), их квадраты содержат 2 * x и 2 * y p-шек соответственно, а значит 2x = 2y + 1 (+1 из-за этой p-шки справа в уравнении)
x = y + 0.5, а это невозможно, поскольку x и y - натуральные

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что число sqrt(X) является иррациональным
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 12:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первом доказательстве используется основная теорема арифметики - существование и единственность разложения на простые множители. Второе же обходится без ее привлечения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что число sqrt(X) является иррациональным
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 13:36 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 153
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
В первом доказательстве используется основная теорема арифметики - существование и единственность разложения на простые множители. Второе же обходится без ее привлечения.


т.е. ничто не мешает мне доказывать иррациональность первым способом, Никакой ошибки в логике не будет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что число sqrt(X) является иррациональным
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 14:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
не будет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что число является факториалом

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

3

93

04 мар 2024, 17:31

Доказать, что число является составным

в форуме Алгебра

alekscooper

3

492

08 мар 2018, 21:23

Доказать, что число является корнем уравнения

в форуме Тригонометрия

slog

28

1214

27 авг 2017, 14:12

Доказать дифференцируемость функции 1/sqrt(x),x>0

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Burunduk

1

225

14 май 2019, 21:26

ТФКП чему равно: sqrt(i) и sqrt(-i)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Dimazde

2

2290

28 дек 2014, 23:51

Как посчитать int[1/(x*sqrt{x} * sqrt[3]{2+sqrt[4]{x^{3}}}]

в форуме Интегральное исчисление

MoonGuard

7

614

21 апр 2014, 17:57

Является ли простым число

в форуме Алгебра

tata00tata

7

319

14 апр 2021, 14:43

Является ли число полным квадратом?

в форуме Теория чисел

Claudia

2

917

25 мар 2019, 17:51

Является ли число остатком от деления при тесте Люка—Лемера

в форуме Теория чисел

xsx

3

730

24 ноя 2016, 08:37

Доказать,что M является полем

в форуме Векторный анализ и Теория поля

ChenTheSlayer

1

266

12 май 2020, 20:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved