Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Fireman |
|
|
У меня есть вопрос (не знаю, можно ли отнести это к школьной математике, но все таки): Почему доказательство иррациональности чисел [math]\sqrt{2}[/math] и [math]\sqrt{3}[/math] отличаются друг от друга? Доказательство для [math]\sqrt{2}[/math]: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... B8%D0%B7_2 Идем от противного: допустим [math]\sqrt{2}[/math] - рациональное, т.е. представимо в виде дроби натуральных чисел m/n. Поэтому m^2 / n^2 = 2, m^2 = 2 * n^2 Раскладывая m и n на простые множители получаем, что m и n содержат x и y двоек соответственно (где x,y - натуральные числа), их квадраты содержат 2* x и 2 * y соответственно, а значит 2x = 2y + 1 (+1 из-за этой двойки справа в уравнении) x = y + 0.5, а это невозможно, поскольку x и y - натуральные Доказательство для [math]\sqrt{3}[/math]: http://oftob.ru/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B ... 0%BB%D0%BE Идем от противного: допустим [math]\sqrt{3}[/math] - рациональное, т.е. представимо в виде несократимой дроби натуральных чисел m/n. Поэтому m^2 / n^2 = 3, m^2 = 3 * n^2 Отсюда следует, что m кратно 3 (поскольку если m^2 кратно 3, то и m кратно 3). Допустим m (кратное 3) можно представить в виде m = 3 * r, тогда m^2=(3*r)^2=9*r^2=3*n^2 => n^2=3*r^2 Следовательно n^2 кратно 3, а значит и n кратно 3, т.е. и m и n кратно 3, что противоречит несократимости дроби m/n. Итак: Меня интересует вопрос, почему к числу 3 не была применена более простая логика, используемая в доказательстве иррациональности [math]\sqrt{2}[/math]? Ведь и там и там будем получать дробную степень 2 (или 3), что приводит к противоречию. Аналогично можно для числа 6 например (там дробные степени 2 и 3 сразу будут) Или я чего-то не улавливаю? Т.е. почему нельзя для 3 (5, и т.д., вообще для любого простого числа МИНИМУМ) дать такое доказательство Идем от противного: допустим [math]\sqrt{p}[/math] - (где p - простое число) рациональное, т.е. представимо в виде дроби натуральных чисел m/n. Поэтому m^2 / n^2 = p, m^2 = p * n^2 Раскладывая m и n на простые множители получаем, что m и n содержат x и y p-шек соответственно (где x,y - натуральные числа и может быть 0), их квадраты содержат 2 * x и 2 * y p-шек соответственно, а значит 2x = 2y + 1 (+1 из-за этой p-шки справа в уравнении) x = y + 0.5, а это невозможно, поскольку x и y - натуральные |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
В первом доказательстве используется основная теорема арифметики - существование и единственность разложения на простые множители. Второе же обходится без ее привлечения.
|
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
swan писал(а): В первом доказательстве используется основная теорема арифметики - существование и единственность разложения на простые множители. Второе же обходится без ее привлечения. т.е. ничто не мешает мне доказывать иррациональность первым способом, Никакой ошибки в логике не будет? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
не будет
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать, что число является факториалом | 3 |
93 |
04 мар 2024, 17:31 |
|
Доказать, что число является составным
в форуме Алгебра |
3 |
492 |
08 мар 2018, 21:23 |
|
Доказать, что число является корнем уравнения
в форуме Тригонометрия |
28 |
1214 |
27 авг 2017, 14:12 |
|
Доказать дифференцируемость функции 1/sqrt(x),x>0
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
225 |
14 май 2019, 21:26 |
|
ТФКП чему равно: sqrt(i) и sqrt(-i) | 2 |
2290 |
28 дек 2014, 23:51 |
|
Как посчитать int[1/(x*sqrt{x} * sqrt[3]{2+sqrt[4]{x^{3}}}]
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
614 |
21 апр 2014, 17:57 |
|
Является ли простым число
в форуме Алгебра |
7 |
319 |
14 апр 2021, 14:43 |
|
Является ли число полным квадратом?
в форуме Теория чисел |
2 |
917 |
25 мар 2019, 17:51 |
|
Является ли число остатком от деления при тесте Люка—Лемера
в форуме Теория чисел |
3 |
730 |
24 ноя 2016, 08:37 |
|
Доказать,что M является полем
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
266 |
12 май 2020, 20:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |