Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 13 окт 2016, 11:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 окт 2016, 10:12
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
День добрый,
есть такая задача
Цитата:
Назовем пару квадратных уравнений x^2 + mx + n = 0 и x^2 + qx +k = 0 дружественной если каждое из них имеет два корня, причем сумма их меньших корней и сумма их больших корней корни уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0. Пусть имеется несколько (больше двух) приведенных квадратных уравнений. Известно что любая пара этих уравнений — дружественная. Докажите что все эти уравнения имеют общий корень.


Если решать используя теорему Виета, как различить меньшие и большие корни, имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 13 окт 2016, 11:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 3268
Cпасибо сказано: 263
Спасибо получено:
417 раз в 407 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень интересно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 13 окт 2016, 15:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wwww писал(а):
имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй?
Да.
X1*X2=n, Y1*Y2=k, (X1+Y1)(X2+Y2)=n+k
Раскройте скобки, посмотрите что получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 14 окт 2016, 09:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 окт 2016, 10:12
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
wwww писал(а):
имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй?
Да.
X1*X2=n, Y1*Y2=k, (X1+Y1)(X2+Y2)=n+k
Раскройте скобки, посмотрите что получается.

получиться, что X1Y1 + X2Y2 = 0

если больше двух подобных уравнений (для простоты пусть три)
X1Y1 + X2Y2 = 0
X1Y1 + X3Y3 = 0
X2Y2 + X3Y3 = 0

данное система имеет решение только если x1=x2=x3=0 (или Y) - то есть есть общий корень но он всегда ноль. Разве в этом состоит доказательство ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 14 окт 2016, 10:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
X1 и X2 - это корни одного уравнения. X3 быть не может! Так же, как и Y3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 14 окт 2016, 11:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 окт 2016, 10:12
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
X1 и X2 - это корни одного уравнения. X3 быть не может! Так же, как и Y3.

под x3 и y3 подразумевалось корни третьего уравнения Z1 и Z2


X1Y1 + X2Y2 = 0
X1Y1 + Z1Z2 = 0
X2Y2 + Z1Z2 = 0

то есть есть общий корень но он всегда ноль. Разве в этом состоит доказательство ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Квадратные уравнения между которыми есть связь
СообщениеДобавлено: 14 окт 2016, 11:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть x1, x2 - корни первого уравнения, y1, y2 - корни второго.
Мы получили
x1y2+x2y1=0
то есть
x1y2=-x2y1
Если среди корней уравнений нет нулей, то это означает, что корни одного из уравнений одного знака (оба положительные или оба отрицательные), а корни второго уравнения - разных знаков.
В случае, если уравнений больше двух, то выполнение вышеописанного условия для каждой пары уравнений невозможно.

Это значит, что среди всех корней всех уравнений обязательно есть хотя бы один нуль. Далее, рассматривая последовательно уравнения системы, получаем, что среди пары корней каждого уравнения обязательно один нулевой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Shadows, wwww
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Есть ли связь между двумя решениями конечных разностей

в форуме Численные методы

rh520

0

292

18 сен 2021, 19:33

Числа, между которыми заключено значение интеграла

в форуме Интегральное исчисление

derenchik

1

77

22 май 2023, 15:59

Найти натуральные числа, между которыми лежит данное число

в форуме Алгебра

a_rus

3

353

27 авг 2017, 09:47

Связь между величинами

в форуме Геометрия

MihailM

1

243

06 июн 2021, 09:39

Связь между нормами в Lp и C

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TaDa

0

682

16 июн 2014, 05:49

Связь между построениями ЦиЛ и формулами

в форуме Геометрия

Booker48

22

470

28 май 2022, 00:44

Связь между аффинной и линейной независимостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ConorM

0

304

24 дек 2017, 18:38

Какая связь между дифференциалом и приращением функции?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

373

23 янв 2016, 11:45

Связь между аддитивными и мультипликативными свойства чисел

в форуме Теория чисел

eric-k

4

735

20 апр 2014, 12:42

Связь между матрицами линейного оператора в различных базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

__kat__s

1

156

24 апр 2020, 19:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 39


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved