Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
wwww |
|
|
есть такая задача Цитата: Назовем пару квадратных уравнений x^2 + mx + n = 0 и x^2 + qx +k = 0 дружественной если каждое из них имеет два корня, причем сумма их меньших корней и сумма их больших корней корни уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0. Пусть имеется несколько (больше двух) приведенных квадратных уравнений. Известно что любая пара этих уравнений — дружественная. Докажите что все эти уравнения имеют общий корень. Если решать используя теорему Виета, как различить меньшие и большие корни, имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй? |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Очень интересно
|
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
wwww писал(а): имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй? Да.X1*X2=n, Y1*Y2=k, (X1+Y1)(X2+Y2)=n+k Раскройте скобки, посмотрите что получается. |
||
Вернуться к началу | ||
wwww |
|
|
Shadows писал(а): wwww писал(а): имеется ввиду - сумма меньших это один корень для уравнения x^2 + (m+q)x + n+k = 0, а сумма больших второй? Да.X1*X2=n, Y1*Y2=k, (X1+Y1)(X2+Y2)=n+k Раскройте скобки, посмотрите что получается. получиться, что X1Y1 + X2Y2 = 0 если больше двух подобных уравнений (для простоты пусть три) X1Y1 + X2Y2 = 0 X1Y1 + X3Y3 = 0 X2Y2 + X3Y3 = 0 данное система имеет решение только если x1=x2=x3=0 (или Y) - то есть есть общий корень но он всегда ноль. Разве в этом состоит доказательство ? |
||
Вернуться к началу | ||
radix |
|
|
X1 и X2 - это корни одного уравнения. X3 быть не может! Так же, как и Y3.
|
||
Вернуться к началу | ||
wwww |
|
|
radix писал(а): X1 и X2 - это корни одного уравнения. X3 быть не может! Так же, как и Y3. под x3 и y3 подразумевалось корни третьего уравнения Z1 и Z2 X1Y1 + X2Y2 = 0 X1Y1 + Z1Z2 = 0 X2Y2 + Z1Z2 = 0 то есть есть общий корень но он всегда ноль. Разве в этом состоит доказательство ? |
||
Вернуться к началу | ||
radix |
|
|
Пусть x1, x2 - корни первого уравнения, y1, y2 - корни второго.
Мы получили x1y2+x2y1=0 то есть x1y2=-x2y1 Если среди корней уравнений нет нулей, то это означает, что корни одного из уравнений одного знака (оба положительные или оба отрицательные), а корни второго уравнения - разных знаков. В случае, если уравнений больше двух, то выполнение вышеописанного условия для каждой пары уравнений невозможно. Это значит, что среди всех корней всех уравнений обязательно есть хотя бы один нуль. Далее, рассматривая последовательно уравнения системы, получаем, что среди пары корней каждого уравнения обязательно один нулевой. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали: Shadows, wwww |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 39 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |