Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача про дроби - доказать, что дроби несократимы
СообщениеДобавлено: 12 апр 2011, 14:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 апр 2011, 14:42
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Решаю задачи по алгебре и случайно наткнулась на задачку. Она звучит так: назовём дроби a/b и c/d (a,b,c,d - целые положительные числа) соседними, если их раз ad-bc/bd имеет числитель +1 или -1, т.е. если ad-bc=+1 или -1.
1. Надо доказать, что в таком случае дроби несократимы (пока на ум только приходит то, что ad-bc/bd=a/b-c/d).
2. Доказать, что если a/b и c/d - соседние, то дробь a+c/b+d находится между ними и является соседней с этими дробями.

Заранее огромное спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача про дроби
СообщениеДобавлено: 12 апр 2011, 22:55 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 апр 2011, 23:16
Сообщений: 167
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
24 раз в 20 сообщениях
Очков репутации: 72

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Пусть [math]\frac {a}{b}=\frac {kx}{ky}[/math], где k, x, y - натуральные числа.
Тогда [math]\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}=\frac{k\left(xd-yc\right)}{kyd}[/math]
Поскольку все числа в числителе натуральные, то разность xd-yc - целое число (абсолютное значение которого равно как минимум 1), а при умножении на натуральное число никак не получится +1 или -1. Но нам дано обратное. Пришли к противоречию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю gamecreator "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Anna7, TorchTT
 Заголовок сообщения: Re: Задача про дроби - доказать, что дроби несократимы
СообщениеДобавлено: 09 янв 2015, 01:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2015, 23:42
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вопрос задан в 2011 году, но, возможно, кому-то пригодится, решение 2-й задачи:

Если [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] находится между [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math], то должно выполняться неравенство:

[math]\frac{ c }{ d }[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ a }{ b }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ a+c }{ b+d }[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ a }{ b }[/math]

Доказательство:

После вычитания дробей с обеих сторон получаем:
[math]\frac{ cb - ad }{ db }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ cb - ad }{ (b+d)b }[/math]

Для справедливости этого неравенства знаменатель первой дроби должен быть меньше знаменателя второй:

[math]\boldsymbol{d \cdot b}[/math] [math]<[/math] [math]\left( \boldsymbol{b} + \boldsymbol{d} \right) \cdot \boldsymbol{b}[/math]
[math]\boldsymbol{d}[/math] [math]<[/math] [math]\left( \boldsymbol{b} + \boldsymbol{d} \right)[/math]

Учитывая, что [math]\boldsymbol{b}[/math] и [math]\boldsymbol{d}[/math] это целые положительные числа, то неравенство верно, значит [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] находится между [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math].

Так как [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math] это соседние дроби, то и [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] является соседней с этими дробями.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача про дроби

в форуме Теория вероятностей

sermat

2

938

18 июн 2014, 18:55

Задача на разложение дроби на простейшие

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

7

186

23 дек 2021, 21:13

Доказать неравенство. задача из последних олимпиад

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Kosimjon

3

388

27 фев 2020, 22:53

Задача по теории вероятностей (Доказать соотношение)

в форуме Теория вероятностей

baton

22

971

01 апр 2021, 00:26

Доказать ещё одно неравенство. задача из последних олимпиад

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Kosimjon

4

246

27 фев 2020, 23:45

Есть задача и решение, строго вывести/доказать его фрагменты

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

_Mirror_

21

648

14 июн 2020, 19:15

Дроби

в форуме Алгебра

Shkolnik99

10

751

18 май 2014, 19:17

Дроби

в форуме Алгебра

Shkolnik99

1

338

19 май 2014, 14:55

Дроби

в форуме Алгебра

Businka

1

376

23 сен 2014, 22:22

Дроби

в форуме Алгебра

Matanman

3

263

25 окт 2017, 12:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved