Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 30 мар 2016, 23:38 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана система уравнений
[math]\left\{\!\begin{aligned} & x=y^2+py+q, \\ & y=x^2+px+q. \end{aligned}\right.[/math]

Как можно на "школьном" уровне исследовать количество решений этой системы в зависимости от действительных коэффициентов [math]p,~q[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 01:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Я излагаю идею, приводящую заданную систему к совокупности двух квадратных уравнений, содержащих [math]p[/math] и [math]q[/math] в качестве параметров.
Исследование каждого квадратного уравнения на количество решений в зависимости от его коэффициентов не должно составить труда.
Не гарантирую, что при преобразованиях где-нибудь не вкралась алгебраическая ошибка (надо проверять).
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 01:57 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начинал тоже так, но заканчивал по-другому. Завтра опубликую, если кто поймёт мой хороший почерк ответ очень длинный

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 03:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
ответ очень длинный


Тогда возможно так:

[math]q < \frac{ p^{2} }{4 }-\frac{ p }{ 2 }[/math] - 4 решения

[math]\frac{ p^{2} }{4 }-\frac{ p }{ 2 } \leqslant q < \frac{ p^{2} }{4 }-\frac{ p }{ 2 } +\frac{ 1 }{4 }[/math] - 2 решения

[math]q = \frac{ p^{2} }{4 }-\frac{ p }{ 2 } +\frac{ 1 }{4 }[/math] - 1 решение

[math]q > \frac{ p^{2} }{4 }-\frac{ p }{ 2 } +\frac{ 1 }{4 }[/math] - решений нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 06:57 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole, спасибо большое! А я думал переписать систему так:
[math]\left\{\!\begin{aligned} & y=\left( x+\frac{p}{2} \right)^2+q-\frac{p^2}{4}, \\ & x=y^2+py+q, \end{aligned}\right.[/math]

подставить выражение для [math]y[/math] из первого уравнения во второе и исследовать полученное уравнение на количество корней. При этом имел в виду, что если пара чисел [math](a,~b)[/math] является решением системы, то и пара чисел [math](b,~a)[/math] тоже является решением системы (возможно, это нужно доказать)... Смутила громоздкость выкладок.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 07:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычитанием из первого уравнения второй выделяется общий множитель [math]y-x[/math]

Извиняюсь Anatole получил его

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 09:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy, можно выделить полный квадрат и во втором уравнении и получить то же самое.
После сообщения уважаемого pewpimkin я решал уже графическим методом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 17:00 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение


Вот, даже выкладывать страшно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 17:11 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, меня впечатляет проделанная Вами работа. :%) Благодарю! :good:

Понятно, что мало-кому из школьников достанет терпения выполнить такое задание... :o

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
СообщениеДобавлено: 31 мар 2016, 17:23 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy, думаю таких примеров не будет, хотя иногда такие примеры с параметрами дают, что нормальный(то есть учившийся в обыкновенной школе) никогда ее не решит. Зачем-то все усложняют. Вот я в школе математику знал хорошо, сдал вступительные экзамены в технический институт на 5 устно и 5 письменно. Думаю с теми знаниями, которые имел тогда, не поступил бы сейчас и в какой-нибудь мясомолочный

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 25 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система уравнений с двумя неизвестными в степени

в форуме Алгебра

Tahmil

2

265

20 май 2019, 01:45

Системы двух уравнений с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

UNIQUE

9

1091

03 сен 2014, 17:35

Система квадратных уравнений с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

morozoff

5

311

11 окт 2018, 10:26

Система уравнений второго порядка с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

sun-fire

1

504

20 май 2014, 13:11

Система 3х уравнений первой степени с тремя неизвестными

в форуме Алгебра

kucher

3

602

16 сен 2015, 15:09

Система сравнений с двумя неизвестными

в форуме Теория чисел

Serg__40

16

1381

27 дек 2019, 12:55

Задачи на системы уравнений с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

MaximZag95

6

892

19 апр 2015, 14:14

Решение диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

assp1r1n3

6

317

20 ноя 2016, 22:13

Система из 4 уравнений с 4 неизвестными

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

colnce08

9

877

28 фев 2015, 13:01

Система уравнений с неизвестными

в форуме Алгебра

ay1993

3

353

05 апр 2014, 16:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved