Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
hpbhpb |
|
|
Помогите, пожалуйста, решить следующую систему уравнений, взятую из сборника И.Н.Сергеева: [math]\left\{\!\begin{aligned} & y^{3}-9x^{2}+27x-27=0 \\ & z^{3}-9y^{2}+27y-27=0 \\ & x^{3}-9z^{2}+27z-27=0 \end{aligned}\right.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Одно решение сразу бросается в глаза: x=y=z=3. А вот есть ли другие - это вопрос.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: hpbhpb |
||
hpbhpb |
|
|
Да, так и есть. И в ответе только это решение. и получить его не сложно. А вот доказать, что оно - единственное, мне удалось очень сложным образом. Может быть, Вам удастся как-то полегче это доказать. Спасибо за ответ.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Пусть [math]x < y < z[/math]. Тогда [math]x<3<z[/math]. Из последнего уравнения системы следует
[math]{x^3}= 9z\left({z - 3}\right) + 27 > 27[/math], что противоречит предположению. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: hpbhpb, venjar |
||
hpbhpb |
|
|
Всё, понял! Спасибо большое!!!!
|
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Prokop писал(а): Пусть [math]x < y < z[/math]. Тогда [math]x<3<z[/math]. . Честно говоря, не понял. Эта система решена двумя способами в книжке Потапов, Олехник, Нестеренко "Конкурсные задачи по математике". Причем оба способа достаточно непростые и не короткие. Я решал третьим способом, легко сведя это к уравнению: [math]x=g(g(g(x)))[/math], где [math]g(x)=\sqrt[3]{9x^2-27x+27}[/math]. Ясно, что это уравнение является следствием уравнения [math]x=g(x)[/math], которое, очевидно, имеет единственный корень х=3. Но теперь надо доказать, что других корней нет у уравнения [math]x=g(g(g(x)))[/math], т.е. указанные уравнения равносильны. Есть теорема о равносильности уравнений вида [math]x=g(g(x))[/math] и [math]x=g(x)[/math] в случае монотонного возрастания g(x). Но здесь тройная суперпозиция. Но, похоже, тоже это доказывается, используя некоторые оценки для возможных корней и монотонное возрастание g(x) на нужных интервалах. Но это тоже не быстро. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали: hpbhpb |
||
hpbhpb |
|
|
Спасибо! Скачал книжку. Нашёл решение на стр. 257. Спасибо большое ещё раз!!!
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Интересно, а применимы ли здесь "соображения симметрии" в том смысле, что только [math]x=y=z[/math] является решением системы?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: hpbhpb |
||
hpbhpb |
|
|
Andy
Здравствуйте, наверное, не совсем их можно применять, потому что я пробовал в программе wolfram подставлять вместо 27 другие значения, и получалось, что система тогда уже имеет несколько решений. В этой системе подобраны коэффициенты именно таким образом, что она имеет ровно одно решение. |
||
Вернуться к началу | ||
hpbhpb |
|
|
Я сегодня только зарегистрировался. И мне очень понравилось, что на мой вопрос быстро и грамотно ответили. Спасибо всем!
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |