Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 07:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующую систему уравнений, взятую из сборника И.Н.Сергеева:
[math]\left\{\!\begin{aligned} & y^{3}-9x^{2}+27x-27=0 \\ & z^{3}-9y^{2}+27y-27=0 \\ & x^{3}-9z^{2}+27z-27=0 \end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 07:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Одно решение сразу бросается в глаза: x=y=z=3. А вот есть ли другие - это вопрос.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 08:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, так и есть. И в ответе только это решение. и получить его не сложно. А вот доказать, что оно - единственное, мне удалось очень сложным образом. Может быть, Вам удастся как-то полегче это доказать. Спасибо за ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 08:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]x < y < z[/math]. Тогда [math]x<3<z[/math]. Из последнего уравнения системы следует
[math]{x^3}= 9z\left({z - 3}\right) + 27 > 27[/math],
что противоречит предположению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
hpbhpb, venjar
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 08:46 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, понял! Спасибо большое!!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 12:50 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Пусть [math]x < y < z[/math]. Тогда [math]x<3<z[/math]. .

Честно говоря, не понял. :(

Эта система решена двумя способами в книжке Потапов, Олехник, Нестеренко "Конкурсные задачи по математике".
Причем оба способа достаточно непростые и не короткие.
Я решал третьим способом, легко сведя это к уравнению:

[math]x=g(g(g(x)))[/math], где [math]g(x)=\sqrt[3]{9x^2-27x+27}[/math].
Ясно, что это уравнение является следствием уравнения [math]x=g(x)[/math], которое, очевидно, имеет
единственный корень х=3. Но теперь надо доказать, что других корней нет у уравнения [math]x=g(g(g(x)))[/math], т.е. указанные уравнения равносильны.
Есть теорема о равносильности уравнений вида [math]x=g(g(x))[/math] и [math]x=g(x)[/math] в случае монотонного возрастания g(x).
Но здесь тройная суперпозиция. Но, похоже, тоже это доказывается, используя некоторые оценки для возможных корней и монотонное возрастание g(x) на нужных интервалах. Но это тоже не быстро.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 13:06 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Скачал книжку. Нашёл решение на стр. 257. Спасибо большое ещё раз!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 17:00 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, а применимы ли здесь "соображения симметрии" в том смысле, что только [math]x=y=z[/math] является решением системы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
hpbhpb
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 18:29 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Здравствуйте, наверное, не совсем их можно применять, потому что я пробовал в программе wolfram подставлять вместо 27 другие значения, и получалось, что система тогда уже имеет несколько решений. В этой системе подобраны коэффициенты именно таким образом, что она имеет ровно одно решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений третьей степени
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 18:35 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
03 окт 2015, 07:10
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 54
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я сегодня только зарегистрировался. И мне очень понравилось, что на мой вопрос быстро и грамотно ответили. Спасибо всем!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система уравнений с двумя неизвестными в степени

в форуме Алгебра

Tahmil

2

265

20 май 2019, 01:45

Система 3х уравнений первой степени с тремя неизвестными

в форуме Алгебра

kucher

3

602

16 сен 2015, 15:09

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными

в форуме Алгебра

Andy

24

1210

30 мар 2016, 23:38

Уравнение третьей степени

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Adel2015

12

742

19 июн 2016, 18:08

Предел корня третьей степени

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

natkabeskonechnost

10

455

08 ноя 2017, 21:19

Разница Корней третьей степени

в форуме Алгебра

KyryloZ

9

140

16 окт 2023, 19:56

Уравнение теоремы Ферма третьей степени

в форуме Палата №6

Markopolo

23

1350

06 сен 2014, 12:31

Уравнения c показателями второй и третьей степени

в форуме Палата №6

Ferma

0

513

22 сен 2017, 16:41

Решение уравнений пятой степени

в форуме Размышления по поводу и без

Hoper

53

1384

30 июл 2022, 14:50

Алгоритм решения уравнений 4 степени

в форуме Алгебра

TsaAst

12

477

26 май 2022, 09:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 38


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved