Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
nicat |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
Из левой части вычтите правую, упростите громоздкие выражения и увидите, что разность неотрицательна. Это стандартный метод доказательства подобных неравенств.
|
||
Вернуться к началу | ||
victor1111 |
|
|
nicat писал(а): Если, [math]\boldsymbol{a}[/math] , [math]\boldsymbol{b}[/math] , [math]\boldsymbol{c}[/math] [math]> 0[/math] докажите что:[math]\frac{a ^{2} }{a ^{2}+ab+b^{2} }[/math] [math]+ \frac{ b^{2} }{ b^{2} +bc+c^{2} }[/math]+[math]\frac{c ^{2} }{c ^{2}+ac+a^{2} }[/math] [math]\geqslant 1[/math] Пусть [math]a[/math]-минимальное число из данной тройки. Тогда [math]a^2+b^2+c^2\geq 3a^2[/math]. Следовательно [math]b^2+c^2\geq 2a^2[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
При доказательстве будем использовать неравенство Коши-Шварца (Коши-Буняковского) в след.форме:
[math]\frac {a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots +\frac{a_n^2}{b_n}\geqslant \frac {(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}[/math] Оно следует из неравенства Коши-Шварца в обычной форме: [math](x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2)\geqslant(x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n)^2[/math], если положить [math]x_i = \frac {a_i}{\sqrt{b_i}}[/math], [math]y_i = \sqrt {b_i}[/math] Прямое применение Коши-Шварца ничего не дает: [math]LHS \geqslant \frac {(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\leqslant 1[/math] Поэтому будем извращаться. Подберем такие [math]x,y,z[/math] что [math]b=\frac{yz}{x^2}a[/math] и [math]c=\frac{zx}{y^2}b[/math], тогда [math]a=\frac{xy}{z^2}c[/math]. Подставляем в исходное [math]\frac{a^2}{a^2+a^2\cdot\frac{yz}{x^2}+a^2\cdot \frac {y^2z^2}{x^4}}+\frac{b^2}{b^2+b^2\cdot\frac{zx}{y^2}+b^2\cdot \frac {z^2x^2}{y^4}}+\frac{c^2}{c^2+c^2\cdot\frac{xy}{z^2}+c^2\cdot \frac {x^2y^2}{z^4}} \geqslant 1[/math] То есть надо доказать, что [math]\sum\limits_{cyc}\frac {x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geqslant 1[/math] Применяем Коши-Шварца [math]\sum\limits_{cyc}\frac {x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2} \geqslant \frac {(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}[/math] Надо доказать, что [math](x^2+y^2+z^2)^2 \geqslant x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/math] Раскрываем скобки, приводим подобные [math]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)[/math] А это верно, поскольку [math]x^2y^2+y^2z^2\geqslant 2y^2xz[/math] [math]y^2z^2+z^2x^2\geqslant 2z^2xy[/math] [math]x^2z^2+x^2y^2\geqslant 2x^2yz[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: nicat |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
249 |
08 май 2015, 19:24 |
|
Неравенство | 4 |
605 |
02 авг 2015, 10:24 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
2 |
142 |
29 май 2019, 22:42 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
274 |
22 авг 2015, 13:29 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
8 |
534 |
27 май 2014, 21:23 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
294 |
23 авг 2015, 14:57 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
4 |
159 |
25 окт 2018, 14:05 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
11 |
287 |
16 июл 2018, 12:09 |
|
Неравенство
в форуме Алгебра |
10 |
413 |
14 июл 2018, 20:32 |
|
Неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
517 |
17 сен 2015, 17:37 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |