Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство
СообщениеДобавлено: 15 июл 2015, 21:15 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 дек 2013, 20:43
Сообщений: 486
Cпасибо сказано: 320
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если, [math]\boldsymbol{a}[/math] , [math]\boldsymbol{b}[/math] , [math]\boldsymbol{c}[/math] [math]> 0[/math] докажите что:[math]\frac{a ^{2} }{a ^{2}+ab+b^{2} }[/math] [math]+ \frac{ b^{2} }{ b^{2} +bc+c^{2} }[/math]+[math]\frac{c ^{2} }{c ^{2}+ac+a^{2} }[/math] [math]\geqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 15 июл 2015, 23:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из левой части вычтите правую, упростите громоздкие выражения и увидите, что разность неотрицательна. Это стандартный метод доказательства подобных неравенств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 июл 2015, 10:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicat писал(а):
Если, [math]\boldsymbol{a}[/math] , [math]\boldsymbol{b}[/math] , [math]\boldsymbol{c}[/math] [math]> 0[/math] докажите что:[math]\frac{a ^{2} }{a ^{2}+ab+b^{2} }[/math] [math]+ \frac{ b^{2} }{ b^{2} +bc+c^{2} }[/math]+[math]\frac{c ^{2} }{c ^{2}+ac+a^{2} }[/math] [math]\geqslant 1[/math]

Пусть [math]a[/math]-минимальное число из данной тройки. Тогда [math]a^2+b^2+c^2\geq 3a^2[/math]. Следовательно [math]b^2+c^2\geq 2a^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
СообщениеДобавлено: 16 июл 2015, 13:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При доказательстве будем использовать неравенство Коши-Шварца (Коши-Буняковского) в след.форме:
[math]\frac {a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots +\frac{a_n^2}{b_n}\geqslant \frac {(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}[/math]
Оно следует из неравенства Коши-Шварца в обычной форме:
[math](x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2)\geqslant(x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n)^2[/math],

если положить [math]x_i = \frac {a_i}{\sqrt{b_i}}[/math], [math]y_i = \sqrt {b_i}[/math]

Прямое применение Коши-Шварца ничего не дает:
[math]LHS \geqslant \frac {(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\leqslant 1[/math]
Поэтому будем извращаться.
Подберем такие [math]x,y,z[/math] что [math]b=\frac{yz}{x^2}a[/math] и [math]c=\frac{zx}{y^2}b[/math], тогда [math]a=\frac{xy}{z^2}c[/math].
Подставляем в исходное
[math]\frac{a^2}{a^2+a^2\cdot\frac{yz}{x^2}+a^2\cdot \frac {y^2z^2}{x^4}}+\frac{b^2}{b^2+b^2\cdot\frac{zx}{y^2}+b^2\cdot \frac {z^2x^2}{y^4}}+\frac{c^2}{c^2+c^2\cdot\frac{xy}{z^2}+c^2\cdot \frac {x^2y^2}{z^4}} \geqslant 1[/math]
То есть надо доказать, что
[math]\sum\limits_{cyc}\frac {x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geqslant 1[/math]
Применяем Коши-Шварца
[math]\sum\limits_{cyc}\frac {x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2} \geqslant \frac {(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}[/math]
Надо доказать, что
[math](x^2+y^2+z^2)^2 \geqslant x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/math]
Раскрываем скобки, приводим подобные
[math]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)[/math]
А это верно, поскольку
[math]x^2y^2+y^2z^2\geqslant 2y^2xz[/math]
[math]y^2z^2+z^2x^2\geqslant 2z^2xy[/math]
[math]x^2z^2+x^2y^2\geqslant 2x^2yz[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
nicat
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Алгебра

evija220

3

249

08 май 2015, 19:24

Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

swan

4

605

02 авг 2015, 10:24

Неравенство

в форуме Алгебра

szafranji

2

142

29 май 2019, 22:42

Неравенство

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

3

274

22 авг 2015, 13:29

Неравенство

в форуме Алгебра

sfanter

8

534

27 май 2014, 21:23

Неравенство

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

1

294

23 авг 2015, 14:57

Неравенство

в форуме Алгебра

tanyhaftv

4

159

25 окт 2018, 14:05

Неравенство

в форуме Алгебра

Ramdesu

11

287

16 июл 2018, 12:09

Неравенство

в форуме Алгебра

VladGreen

10

413

14 июл 2018, 20:32

Неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

pohoroni

2

517

17 сен 2015, 17:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved