Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 08:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 мар 2015, 23:22
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Написаны 2012 чисел. Сумма квадратов любых 15 из них равна 15 и сумма любых 11 из них неположительна. Найдите эти числа, если их сумма является целым числом.

Есть у кого-то идеи решения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 10:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все числа равны по модулю. Чему равен модуль чисел - понятно, сколко из них могут быть положительными...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 10:32 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
24 янв 2013, 21:19
Сообщений: 278
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
17 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу идей поиска решения отвечу честно: мозгов у мене 0%.
А вот само решение задачи так и выпригивает на поверхность:
Ответ: в исходе имеем 2012 раз число [math]-1[/math] через 2011 запятых!
Думается (не перепроверил), что решение у задачи только такое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 10:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
laperino писал(а):
Думается (не перепроверил), что решение у задачи только такое.

Конечно, среди них могут быть от 0 до 5 плюс единички.
spins06 писал(а):
если их сумма является целым числом.

Лишнее, избыточное условие.

Доакзательство, что все они равны по модулю:

[math]a_1^2+a_2^2+\cdots a_{14}^2+a_{15}^2=a_1^2+a_2^2+\cdots a_{14}^2+a_{16}^2\;\Rightarrow a_{15}^2=a_{16}^2[/math]

Продолжать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
laperino
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 11:01 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
24 янв 2013, 21:19
Сообщений: 278
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
17 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
laperino писал(а):
Думается (не перепроверил), что решение у задачи только такое.

Конечно, среди них могут быть от 0 до 5 плюс единички. Продолжать?

Дальше можно не продолжать! Согласен! Итого, имеется ровно 6 правильных ответов на задачу.
Вы с этой констатацией думаю согласны!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 12:02 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows, может статься, что в множестве комплексных чисел есть и другие решения этой задачи, поэтому условие целочисленности суммы не выглядит лишним.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 12:24 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
24 янв 2013, 21:19
Сообщений: 278
Cпасибо сказано: 153
Спасибо получено:
17 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Все числа равны по модулю.

Согласно Вашего контекста за цитированной фразой уверен, что Вы имели в виду такое:
'квадраты всех чисел равны по модулю'.
Поправьте если ошибся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 13:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
модули всех чисел равны или квадраты всех чисел равны
Andy писал(а):
Shadows, может статься, что в множестве комплексных чисел есть и другие решения этой задачи, поэтому условие целочисленности суммы не выглядит лишним.

Поскольку квадраты всех чисел равны, придется решать уравнение [math]15x^2=15[/math] ...хоть в комплексных, хоть в целых.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 05 июл 2015, 14:08 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Поскольку квадраты всех чисел равны, придется решать уравнение [math]15x^2=15[/math] ...хоть в комплексных, хоть в целых.

Что ж, тогда действительно условие задачи избыточно. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Написаны 2012 чисел
СообщениеДобавлено: 06 июл 2015, 09:25 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
07 май 2015, 13:10
Сообщений: 652
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
175 раз в 169 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть S - сумма квадратов первых 14 чисел. Тогда квадрат любого из оставшихся чисел равен 15-S, т.е. квадраты этих чисел (значит, и их модули) равны.
Рассмотрим любой набор 15 чисел из оставшихся. Получим, что их модули равны 1.
Рассматривая наборы из 15 чисел, содержащих 14 из оставшихся, а в качестве 15-го числа последовательно первое, второе, ..., 14-е число, получим, что все числа по модулю равны 1, а сами числа 1 или -1.
Чисел 1 среди них может быть не более пяти, остальные равны -1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
На карточках написаны буквы: А, Ч, А, Р, К

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Tatiana_1

2

85

15 сен 2022, 11:11

На шести карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6

в форуме Теория вероятностей

TheUgly

6

259

15 ноя 2021, 21:21

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

24

1103

02 ноя 2017, 11:54

Темп роста ВВП страны А составлял 4% до 2012 года

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Jek_os

0

237

13 июн 2015, 17:14

Выбор разных чисел из общего массива чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RomanMatax

0

343

12 янв 2019, 01:36

размещение К чисел при трёхзначной сумме этих чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vanvita

0

277

01 ноя 2018, 13:57

Плотность целых чисел чисел

в форуме Теория чисел

Kosta

6

687

31 окт 2015, 13:49

Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон

в форуме Размышления по поводу и без

korolchukvasily

2

257

28 июн 2023, 11:23

Ряд чисел

в форуме Алгебра

pacha

7

482

05 июн 2017, 21:50

Теория чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

11

732

11 май 2015, 10:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 39


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved