Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Gagarin |
|
|
Снова столкнулся с трудностями в простой с виду задаче. Сравнить числа [math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^9[/math] и [math]4^9[/math] и поставить между ними соответствующий знак неравенства. Само собой. нет ни калькулятора, софта, таблиц и т.д. Сравниваем [math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math]. Оценивая [math]2 < \sqrt{7} < 3[/math] и [math]1 < \sqrt{2} < 1,5[/math], получаем [math]3 <\sqrt{7}+\sqrt{2} < 4,5[/math]. Сравнить с[math]4[/math] нельзя. Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math]. Оценивая[math]3 < \sqrt{14} < 4[/math], получаем[math]15 <9+2\sqrt{14} < 17[/math]. Сравнить с [math]4^2=16[/math] нельзя. Возводим в куб:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^3=13\sqrt{7}+23\sqrt{2}[/math]. Используя оценки выше, получаем [math]49 <13\sqrt{7}+23\sqrt{2} < 73,5[/math]. Сравнить с [math]4^3=64[/math] нельзя. Возводим в 4-ю степень:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^4=137+36\sqrt{14}[/math]. Оцениваем: [math]245 <137+36\sqrt{14} < 281[/math]. Сравнить с [math]4^4=256[/math] нельзя. Дальше в уме сравнивать сложно. Попробовал по-другому. Умножил [math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math] на сопряжённое [math]\sqrt{7}-\sqrt{2} > 0[/math]. Получаю числа [math]5[/math] и [math]4(\sqrt{7}-\sqrt{2})[/math]. Возвожу также в степени до 5-й включительно - и ничего. А ведь это задача из учебника 9-го класса и даже без звёздочки. Из темы "Почленное умножение неравенств". Я подобных задач перерешал штук 60-70. А тут вдруг - ступор. Может, есть какой-то хитрый приём, а я его не вижу и отчаянно туплю? Заранее спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
agua |
|
|
[math]\frac{49}{4}<14\ \Rightarrow \ \frac{7}{2}<\sqrt{14}[/math]
Уже ведь разбирали недавно: Какое из чисел больше? |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
[math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math]
[math]\sqrt{7}[/math] и [math]4-\sqrt{2}[/math] [math]7[/math] и [math](4-\sqrt{2})^2[/math] [math]7[/math] и [math]18-8\sqrt{2}[/math] [math]7+8\sqrt{2}[/math] и [math]18[/math] [math]8\sqrt{2}[/math] и [math]18-7[/math] [math]8\sqrt{2}[/math] и [math]11[/math] [math]128[/math] и [math]121[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: agua, Andy, Gagarin, radix |
||
agua |
|
|
И даже так:
Gagarin писал(а): Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math] [math]9+2\sqrt{14} <> 16[/math][math]2\sqrt{14} <> 7[/math] [math]56 > 49[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю agua "Спасибо" сказали: Andy, Gagarin, mad_math, radix |
||
Gagarin |
|
|
agua, ну конечно!
Тогда [math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2= 9+2\sqrt{14}[/math], и при Вашей оценке получаем, что [math]16 <9+2\sqrt{14} < 17[/math], и, значит, [math]\sqrt{7}+\sqrt{2} > 4[/math]. Но как Вы вышли на число[math]\frac{ 49 }{ 4 }[/math]? Интуитивно? mad_math, тоже неплохо. Мне интересно, есть ли в подобных задачах общий метод? Или, даже если знаешь, к чему стремиться, всё равно тебя ведёт интуиция? upd |
||
Вернуться к началу | ||
agua |
|
|
Для промежутка [math]3<\sqrt{14}<4[/math] проверяем дроби с шагом 1/2, потом 1/4.
Можно и без дробей, перенося слагаемые из одной части в другую – результат будет тот же. Последний раз редактировалось agua 03 июл 2015, 00:03, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
А что если 4 представить как [math]\sqrt{49}-\sqrt{9}[/math]? Затем возведя обе стороны в квадрат получим:[math]7+2+2\sqrt{7}\sqrt{2}[/math] и [math]49+9-2*7*3[/math]
Далее вычтем из обеих сторон 9 и получим : [math]2\sqrt{2}\sqrt{7} and \sqrt{7}\sqrt{7}[/math] , Сократим на [math]\sqrt{7}[/math] и ещё раз возведён в квадрат получим 8>7? |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
agua писал(а): И даже так: И сокаратим на [math]\sqrt 7[/math] Gagarin писал(а): Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math] [math]9+2\sqrt{14} <> 16[/math][math]2\sqrt{14} <> 7[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: radix |
||
ivashenko |
|
|
Ну, мне ответ так более красивым показался, чем просто возведём в квадрат.
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Интересно, какой практический смысл поставленного задания? В распоряжении человека есть ведь всевозможные таблицы и даже калькулятор. Свободное время можно было бы посвятить чему-то более интересному, чем мучительное сравнение иррациональных чисел.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сравнить числа
в форуме Алгебра |
1 |
273 |
22 дек 2014, 19:00 |
|
Сравнить числа
в форуме Алгебра |
6 |
478 |
13 авг 2014, 10:49 |
|
Сравнить числа
в форуме Алгебра |
2 |
227 |
20 ноя 2016, 17:48 |
|
Сравнить два числа
в форуме Алгебра |
4 |
334 |
15 ноя 2016, 11:25 |
|
Сравнить два числа
в форуме Алгебра |
1 |
316 |
26 май 2014, 19:49 |
|
Сравнить два числа
в форуме Алгебра |
7 |
327 |
24 июн 2015, 09:27 |
|
Сравнить два числа
в форуме Алгебра |
1 |
291 |
22 ноя 2014, 00:09 |
|
Сравнить числа
в форуме Алгебра |
1 |
240 |
22 дек 2014, 18:58 |
|
Сравнить два иррац. числа
в форуме Алгебра |
14 |
653 |
24 дек 2017, 15:24 |
|
Сравнить ряд
в форуме Ряды |
4 |
245 |
17 дек 2016, 18:06 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |