Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер.
Снова столкнулся с трудностями в простой с виду задаче.
Сравнить числа [math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^9[/math] и [math]4^9[/math] и поставить между ними соответствующий знак неравенства. Само собой. нет ни калькулятора, софта, таблиц и т.д.
Сравниваем [math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math].
Оценивая [math]2 < \sqrt{7} < 3[/math] и [math]1 < \sqrt{2} < 1,5[/math], получаем
[math]3 <\sqrt{7}+\sqrt{2} < 4,5[/math]. Сравнить с[math]4[/math] нельзя.
Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math].
Оценивая[math]3 < \sqrt{14} < 4[/math], получаем[math]15 <9+2\sqrt{14} < 17[/math]. Сравнить с [math]4^2=16[/math] нельзя.
Возводим в куб:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^3=13\sqrt{7}+23\sqrt{2}[/math].
Используя оценки выше, получаем [math]49 <13\sqrt{7}+23\sqrt{2} < 73,5[/math]. Сравнить с [math]4^3=64[/math] нельзя.
Возводим в 4-ю степень:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^4=137+36\sqrt{14}[/math].
Оцениваем: [math]245 <137+36\sqrt{14} < 281[/math]. Сравнить с [math]4^4=256[/math] нельзя.
Дальше в уме сравнивать сложно. Попробовал по-другому. Умножил [math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math] на сопряжённое [math]\sqrt{7}-\sqrt{2} > 0[/math]. Получаю числа [math]5[/math] и [math]4(\sqrt{7}-\sqrt{2})[/math]. Возвожу также в степени до 5-й включительно - и ничего.
А ведь это задача из учебника 9-го класса и даже без звёздочки. Из темы "Почленное умножение неравенств". Я подобных задач перерешал штук 60-70. А тут вдруг - ступор. Может, есть какой-то хитрый приём, а я его не вижу и отчаянно туплю?
Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:13 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{49}{4}<14\ \Rightarrow \ \frac{7}{2}<\sqrt{14}[/math]

Уже ведь разбирали недавно: Какое из чисел больше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:30 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt{7}+\sqrt{2}[/math] и [math]4[/math]

[math]\sqrt{7}[/math] и [math]4-\sqrt{2}[/math]

[math]7[/math] и [math](4-\sqrt{2})^2[/math]

[math]7[/math] и [math]18-8\sqrt{2}[/math]

[math]7+8\sqrt{2}[/math] и [math]18[/math]

[math]8\sqrt{2}[/math] и [math]18-7[/math]

[math]8\sqrt{2}[/math] и [math]11[/math]

[math]128[/math] и [math]121[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
agua, Andy, Gagarin, radix
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:38 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И даже так:
Gagarin писал(а):
Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math]
[math]9+2\sqrt{14} <> 16[/math]

[math]2\sqrt{14} <> 7[/math]

[math]56 > 49[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю agua "Спасибо" сказали:
Andy, Gagarin, mad_math, radix
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
agua, ну конечно!
Тогда [math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2= 9+2\sqrt{14}[/math], и при Вашей оценке получаем, что
[math]16 <9+2\sqrt{14} < 17[/math], и, значит, [math]\sqrt{7}+\sqrt{2} > 4[/math].
Но как Вы вышли на число[math]\frac{ 49 }{ 4 }[/math]? Интуитивно?
mad_math, тоже неплохо.
Мне интересно, есть ли в подобных задачах общий метод? Или, даже если знаешь, к чему стремиться, всё равно тебя ведёт интуиция?
upd
agua, а как Вам удаётся отвечать, постоянно находясь не в сети?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:52 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для промежутка [math]3<\sqrt{14}<4[/math] проверяем дроби с шагом 1/2, потом 1/4.

Можно и без дробей, перенося слагаемые из одной части в другую – результат будет тот же.

2Gagarin: эти способности приходят с опытом :)
Но вообще в настройках есть соответствующая опция.


Последний раз редактировалось agua 03 июл 2015, 00:03, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 02 июл 2015, 23:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что если 4 представить как [math]\sqrt{49}-\sqrt{9}[/math]? Затем возведя обе стороны в квадрат получим:[math]7+2+2\sqrt{7}\sqrt{2}[/math] и [math]49+9-2*7*3[/math]
Далее вычтем из обеих сторон 9 и получим :
[math]2\sqrt{2}\sqrt{7} and \sqrt{7}\sqrt{7}[/math]
, Сократим на [math]\sqrt{7}[/math] и ещё раз возведён в квадрат получим 8>7?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 03 июл 2015, 07:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
agua писал(а):
И даже так:
Gagarin писал(а):
Возводим оба числа в квадрат:[math](\sqrt{7}+\sqrt{2})^2=9+2\sqrt{14}[/math]
[math]9+2\sqrt{14} <> 16[/math]

[math]2\sqrt{14} <> 7[/math]
И сокаратим на [math]\sqrt 7[/math] :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
radix
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 03 июл 2015, 08:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, мне ответ так более красивым показался, чем просто возведём в квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнить два числа
СообщениеДобавлено: 03 июл 2015, 08:31 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, какой практический смысл поставленного задания? В распоряжении человека есть ведь всевозможные таблицы и даже калькулятор. Свободное время можно было бы посвятить чему-то более интересному, чем мучительное сравнение иррациональных чисел. :puzyr:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сравнить числа

в форуме Алгебра

Germanhart

1

273

22 дек 2014, 19:00

Сравнить числа

в форуме Алгебра

Woxa999

6

478

13 авг 2014, 10:49

Сравнить числа

в форуме Алгебра

Aidana Bekitayeva

2

227

20 ноя 2016, 17:48

Сравнить два числа

в форуме Алгебра

Gagarin

4

334

15 ноя 2016, 11:25

Сравнить два числа

в форуме Алгебра

sfanter

1

316

26 май 2014, 19:49

Сравнить два числа

в форуме Алгебра

Gagarin

7

327

24 июн 2015, 09:27

Сравнить два числа

в форуме Алгебра

Keelloo

1

291

22 ноя 2014, 00:09

Сравнить числа

в форуме Алгебра

Germanhart

1

240

22 дек 2014, 18:58

Сравнить два иррац. числа

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

14

653

24 дек 2017, 15:24

Сравнить ряд

в форуме Ряды

Bunny987

4

245

17 дек 2016, 18:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved