Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Бесконечная последовательность целых положительных чисел
СообщениеДобавлено: 19 май 2015, 16:07 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 14:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]a_{0} < a_{1} < a_{2}<...[/math] -- бесконечная бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число [math]n \geqslant 1[/math] такое, что

[math]a^{n} < \frac{ a_{0} + a_{1} +... a_{n} }{ n } \leqslant a_{n+1}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечная последовательность целых положительных чисел
СообщениеДобавлено: 19 май 2015, 17:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bonaqua писал(а):
[math]a^{n} < \frac{ a_{0} + a_{1} +... a_{n} }{ n } \leqslant a_{n+1}.[/math]


Слева [math]a^n[/math] или [math]a_n[/math]? Если первое, то что такое [math]a[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечная последовательность целых положительных чисел
СообщениеДобавлено: 19 май 2015, 17:18 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 14:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_n[/math] конечно же. Очепятка. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Бесконечная последовательность целых положительных чисел
СообщениеДобавлено: 19 май 2015, 20:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим последовательность [math]b_n=na_n-\sum_{k=1}^na_k,\ n\geqslant1[/math]. Она строго возрастает. Действительно,

[math]b_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}a_k=na_{n+1}-\sum_{k=1}^{n}a_k>na_n-\sum_{k=1}^na_k=b_n[/math]

Далее, [math]b_n[/math], очевидно, целочисленна. Это вкупе с предыдущим фактом дает, что [math]b_n[/math] неограничена. Кроме того, [math]b_1=0[/math].

Числа [math]b_n[/math], таким образом, разбивают всю ось [math](0;\infty)[/math] на непересекающиеся полуинтервалы вида [math](b_n;b_{n+1}][/math], и фиксированное положительное число [math]a_0[/math] попадает лишь в один из них.

Осталось заметить, что неравенство в условии задачи преобразуется к виду

[math]b_n<a_0\leqslant b_{n+1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Bonaqua
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сколько положительных целых чисел делятся на 3

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

hlop

3

150

20 ноя 2017, 19:06

Бесконечная последовательность испытаний

в форуме Теория вероятностей

Gelhenec

1

198

26 окт 2014, 12:59

Логика положительных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

iva

4

156

19 июн 2015, 20:40

Наибольшее значение произведения двух положительных чисел

в форуме Алгебра

Tamirlan

1

443

24 дек 2012, 13:57

Плотность целых чисел чисел

в форуме Теория чисел

Kosta

6

328

31 окт 2015, 14:49

Пары целых чисел |x| + |y|

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

1

212

21 июн 2015, 13:32

Дано множество целых чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nata12

0

256

18 май 2013, 13:23

Решение ур-ия в кольце целых чисел

в форуме Теория чисел

chicken

1

179

21 фев 2015, 09:27

Делимость в кольце целых чисел

в форуме Теория чисел

Anna43

5

810

03 ноя 2013, 10:52

Пополнить множество целых чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex_mench

1

241

04 мар 2015, 11:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved