Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что справедливо неравенство (...)
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2014, 00:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 янв 2012, 19:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здраствуйте, недавно решал неравенство, ну и "решил" его не так, как стоило было (дефолтное решение простое и элегантное, как всегда). По сути, меня интересует: верно ли моё решение. :)

Задание:
Доказать, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство:
[math]{{a}^2 + ab + {b}^2} \ge 3(a + b - 1)[/math]


Моё решение:
1) Введем переменную [math]t = a + b[/math];
2) Допустим, что есть действительные значения t при, которых верно [math]{t}^2 < 3(t - 1)[/math];
3) Преобразуем неравенство:
[math]t^2 - t + t < 3(t - 1);[/math]
[math]t(t - 1) + t < 3(t - 1);[/math]
[math](t - 1)(3 - t) > t;[/math]
[math](*) -(t - 1)(t - 3) > t;[/math]
4) [math](**) f(t) = -(t - 1)(t - 3)[/math] - парабола ветви которой направлены вниз;
5) Найдем координату [math]f(t)[/math] вершины [math]A[/math] параболы (**):
[math]D = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4;[/math] [math]|[/math] [math]a = -1; b = 4; c = -3;[/math]
[math]{f(t)_{A}}= -\frac{D}{4a} = 1;[/math]
6) Рассмотрел два случая: [math]t \le 1[/math] и [math]t > 1[/math]:
при [math]t \le 1[/math] неравенство (*) неверно, т.к. парабола (**) пересекает прямую [math]f(t) = t[/math];
при [math]t > 1[/math] неравенство (*) так же неверно, потому что парабола (**) расположена ниже прямой [math]f(t) = t[/math];
Из вышесказанного допущение сделанное в пункте 2 данного решения - неверно, а следовательно исходное неравенство справедливо при всех действительных значениях [math]a[/math] и [math]b[/math].
P.S. Собственно можно было бы решить аналогично и без допущения сделанного во втором пункте решения, но я написал, так, как решал первоначально.

Спасибо за внимание. Жду ваших замечаний. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что справедливо неравенство (...)
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2014, 11:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
615 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]t=a+b[/math], тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно.

Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло.

Лучше докажите, что [math](a+b)^2-3(a+b)+3 \ge ab[/math], воспользуясь тем, что [math]4ab \le (a+b)^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
mad_math, Noqrax
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что справедливо неравенство (...)
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2014, 11:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 янв 2012, 19:36
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Если t=a+b, тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно.

Эх, это всё моя невнимательность, я решал неправильно списанное задание... :(

Shadows писал(а):
Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло.

Мне нагляднее было работать с горизонтальной прямой [math]f(t) = t[/math].

Так или иначе, я понял свои ошибки. Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что справедливо неравенство (...)
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2014, 14:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)(b-1) \geqslant 2(a-1)(b-1)+(a-1)(b-1)=3(a-1)(b-1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что в упорядоченном поле справедливо неравенство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

jeliza_rosa

3

539

15 янв 2017, 20:28

Доказать неравенство

в форуме Палата №6

ivashenko

19

750

11 дек 2019, 17:36

Доказать неравенство

в форуме Геометрия

anya_mathematics

1

512

29 ноя 2016, 13:47

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anya_mathematics

5

440

28 ноя 2016, 15:38

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

progphp

1

411

24 май 2015, 22:05

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jugalator

3

352

26 сен 2017, 17:48

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Kirill_1103

4

371

24 сен 2019, 18:48

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Dr_Zet

23

440

31 июл 2019, 01:11

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

phlegeton

3

411

06 ноя 2017, 21:53

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

310

28 окт 2015, 19:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved