Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Noqrax |
|
|
![]() Задание: Доказать, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство: [math]{{a}^2 + ab + {b}^2} \ge 3(a + b - 1)[/math] Моё решение: 1) Введем переменную [math]t = a + b[/math]; 2) Допустим, что есть действительные значения t при, которых верно [math]{t}^2 < 3(t - 1)[/math]; 3) Преобразуем неравенство: [math]t^2 - t + t < 3(t - 1);[/math] [math]t(t - 1) + t < 3(t - 1);[/math] [math](t - 1)(3 - t) > t;[/math] [math](*) -(t - 1)(t - 3) > t;[/math] 4) [math](**) f(t) = -(t - 1)(t - 3)[/math] - парабола ветви которой направлены вниз; 5) Найдем координату [math]f(t)[/math] вершины [math]A[/math] параболы (**): [math]D = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4;[/math] [math]|[/math] [math]a = -1; b = 4; c = -3;[/math] [math]{f(t)_{A}}= -\frac{D}{4a} = 1;[/math] 6) Рассмотрел два случая: [math]t \le 1[/math] и [math]t > 1[/math]: при [math]t \le 1[/math] неравенство (*) неверно, т.к. парабола (**) пересекает прямую [math]f(t) = t[/math]; при [math]t > 1[/math] неравенство (*) так же неверно, потому что парабола (**) расположена ниже прямой [math]f(t) = t[/math]; Из вышесказанного допущение сделанное в пункте 2 данного решения - неверно, а следовательно исходное неравенство справедливо при всех действительных значениях [math]a[/math] и [math]b[/math]. P.S. Собственно можно было бы решить аналогично и без допущения сделанного во втором пункте решения, но я написал, так, как решал первоначально. Спасибо за внимание. Жду ваших замечаний. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shadows |
|
|
|
Если [math]t=a+b[/math], тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно.
Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло. Лучше докажите, что [math](a+b)^2-3(a+b)+3 \ge ab[/math], воспользуясь тем, что [math]4ab \le (a+b)^2[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: mad_math, Noqrax |
||
| Noqrax |
|
|
|
Shadows писал(а): Если t=a+b, тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно. Эх, это всё моя невнимательность, я решал неправильно списанное задание... ![]() Shadows писал(а): Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло. Мне нагляднее было работать с горизонтальной прямой [math]f(t) = t[/math]. Так или иначе, я понял свои ошибки. Спасибо. |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
[math]a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)(b-1) \geqslant 2(a-1)(b-1)+(a-1)(b-1)=3(a-1)(b-1)[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: mad_math |
||
|
[ Сообщений: 4 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Доказать, что в упорядоченном поле справедливо неравенство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
539 |
15 янв 2017, 20:28 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Палата №6 |
19 |
750 |
11 дек 2019, 17:36 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Геометрия |
1 |
512 |
29 ноя 2016, 13:47 |
|
| Доказать неравенство | 5 |
440 |
28 ноя 2016, 15:38 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
411 |
24 май 2015, 22:05 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
352 |
26 сен 2017, 17:48 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
4 |
371 |
24 сен 2019, 18:48 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
23 |
440 |
31 июл 2019, 01:11 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
3 |
411 |
06 ноя 2017, 21:53 |
|
|
Как доказать неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
310 |
28 окт 2015, 19:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |