Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 17:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Попалась мне в учебнике по алгебре для 8 класса за авторством Миндюк, Макарычев и др. (для углублённого изучения) задача:
Докажите, что при любом [math]n\in N[/math] число [math]7^{2n+1}+2^{4n+2}[/math] делится на [math]11[/math].
Задача эта в главе "Целые числа. Делимость чисел" в подразделе "Признаки делимости".

То, что данное число можно преобразовать к виду [math]7^{2n+1}+4^{2n+1}[/math], я понимаю. И что [math]4[/math] в нечётной степени всегда оканчивается [math]4[/math], а [math]7[/math] либо [math]3[/math], либо [math]7[/math], тоже. Но как это применить к данной задаче, а тем более признак деления на [math]11[/math], который, как известно, гласит: число делится на [math]11[/math] тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётный местах, делится на [math]11[/math], - я сообразить не могу.
Натолкните на верное решение, пожалуйста.
Спасибо за внимание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 18:10 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 933
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
365 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитируемый Вами признак делимости на 11 вряд ли можно изпользовать в задаче. Скорее всего надо доказать, чти при нечетном [math]n[/math]
[math](a+b)\mid a^n+b^n[/math] с помощью индукции или вынесением [math](a+b)[/math] за скобки.

Или [math](11-4)^{2k+1}+4^{2k+1}\equiv -(4^{2k+1})+4^{2k+1} \equiv 0 \pmod{11}[/math]

А признаки делимости, они связаны с системой счисления, в случае с 10-ичной системе и к таким задачам не приложимы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 18:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Цитируемый Вами признак делимости на 11 вряд ли можно изпользовать в задаче.
В учебнике дан только он. Не уверена, что в 8 классе уже проходили матиндукцию.
Была мысль, доказать какой-нибудь альтернативный признак деления на 11.

Shadows писал(а):
Или [math](11-4)^{2k+1}+4^{2k+1}\equiv -(4^{2k+1})+4^{2k+1}\equiv 0 \pmod{11}[/math]
Попробую в этом направлении что-то сделать. Спасибо :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 18:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 01:53
Сообщений: 1389
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
983 раз в 641 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно воспользоваться известной формулой:

[math]{a^{2n + 1}} + {b^{2n + 1}} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^{2n}} - {a^{2n - 1}}b + {a^{2n - 2}}{b^2} - \ldots - a{b^{2n - 1}} + {b^{2n}}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 19:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Uncle Fedor писал(а):
Можно воспользоваться известной формулой:

[math]{a^{2n + 1}} + {b^{2n + 1}} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^{2n}} - {a^{2n - 1}}b + {a^{2n - 2}}{b^2} - \ldots - a{b^{2n - 1}} + {b^{2n}}} \right)[/math]
Была такая мысль. В учебнике была дана формула только для [math]a^n-b^n[/math], как она выглядит для суммы, я не искала.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 20:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 15:27
Сообщений: 1955
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 369
Спасибо получено:
1059 раз в 847 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
как она выглядит для суммы,...

Формула для суммы существует только для нечётных степеней, в то время как формула для разности работает при любых степенях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 27 окт 2014, 22:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
Формула для суммы существует только для нечётных степеней, в то время как формула для разности работает при любых степенях.
Спасибо. :)
Я просто думала, если задача в разделе по признакам делимости, значит она должна как-то с их помощью решаться. Это меня и сбило.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 28 окт 2014, 12:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 окт 2014, 11:49
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В учебнике была дана формула только для a^n-b^n, как она выглядит для суммы, я не искала.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на признаки делимости из Макарычева
СообщениеДобавлено: 28 окт 2014, 12:52 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 933
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
365 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 132

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
blackbee045 писал(а):
В учебнике была дана формула только для a^n-b^n, как она выглядит для суммы, я не искала.
А сумму превратить в разность трудно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Признаки делимости

в форуме Алгебра

resation

3

219

19 мар 2014, 16:17

Признаки делимости в двоичной системе счисления

в форуме Алгебра

lizaliza

2

1464

10 ноя 2012, 13:58

Алгебра, 7 класс, признаки делимости выражения

в форуме Алгебра

WDogy

7

738

16 сен 2012, 08:18

Олимпиадная задача 7 класс на признак делимости?

в форуме Алгебра

Yura_lion

2

249

26 окт 2014, 23:58

Доказательство делимости.

в форуме Алгебра

Roman4ik

1

255

10 май 2012, 19:44

Признак делимости на 7 - доказательство

в форуме Теория чисел

kosogor

4

169

27 сен 2017, 10:39

Свойства делимости чисел

в форуме Алгебра

Benya-a

2

238

12 окт 2012, 22:52

О делимости числа беспорядков

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Boris Skovoroda

1

108

31 дек 2016, 18:51

Как строится граф отношения делимости

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ujf

7

551

02 май 2013, 11:59

Аликвотные дроби и свойства делимости

в форуме Алгебра

raaaaawwr

2

255

21 дек 2015, 01:36


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved