Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=35225
Страница 1 из 1

Автор:  afraumar [ 07 авг 2014, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

Добрый день!

Запуталась со знаками и поэтому не могу корректно написать область определения.

Вот задание и под ним сразу ответ из учебника. Дальше как я делала и мой вопрос.
Необходимо аналитическим способом решить неравенство.

Изображение


Изображение
Мое решение.
После преобразований получается

[math]\frac{ 4 }{ 5}^{x} = \frac{ 2 }{ 5 }[/math]

[math]ln(\frac{ 4 }{ 5}^{x}) = ln(\frac{ 2 }{ 5 } )[/math]

[math]x = \frac{ ln (\frac{ 2 }{ 5 }) }{ ln(\frac{ 4 }{ 5 }) }[/math]

Теперь я не понимаю, почему чтобы начальное выражение было больше либо равно 10 х должен быть от минус бесконечности до значения, написанного строчкой выше.

Я попробовала подставила разные значения Х. Начала с 4.107 (это решение [math]x = \frac{ ln (\frac{ 2 }{ 5 }) }{ ln(\frac{ 4 }{ 5 }) }[/math]) и попробовала 5.107 и 2.107. При меньших значениях Х результат увеличивается и становится выше 10, при больших наоборот. Если я правильно понимаю, это происходит потому что при увеличении экспоненты (Х - значения степени) дробь увеличивается и соответственно результат умножения этой дроби на 25 будет меньше.
Это правильное объяснение?

Но как дойти до этого без вычислений - это же должно быть понятно из самого выражения. Что я не вижу здесь?

Буду очень благодарна за объяснение!

Автор:  vorvalm [ 07 авг 2014, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

[math](\frac {4}{5})^{-\infty}=(\frac 5 4)^\infty>10{[/math]

Автор:  afraumar [ 07 авг 2014, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

vorvalm писал(а):
[math](\frac {4}{5})^{-\infty}=(\frac 5 4)^\infty>10{[/math]


спасибо, но, к сожалению, такое объяснение мне непонятно (

Автор:  vorvalm [ 08 авг 2014, 07:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

[math](\frac 5 4)^x=(1+0,25)^x=(1+x\cdot0,25+...)>10,\;\;x>40[/math]

Автор:  venjar [ 08 авг 2014, 08:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

afraumar писал(а):




[math]\frac{ 4 }{ 5}^{x} = \frac{ 2 }{ 5 }[/math]

[math]ln(\frac{ 4 }{ 5}^{x}) = ln(\frac{ 2 }{ 5 } )[/math]

[math]x = \frac{ ln (\frac{ 2 }{ 5 }) }{ ln(\frac{ 4 }{ 5 }) }[/math]


Странно, у Вас неравенство, а Вы решаете уравнение?
Надо и решать неравенство, применяя эквивалентные преобразования.
Итак, приходим к неравенству
[math](\frac{ 4 }{ 5})^{x} \ge \frac{ 2 }{ 5 }[/math]

Логарифмируем обе части по основанию е (е>1!), поэтому знак неравенства сохраняется. Получим

[math]x\ln{\frac{ 4 }{ 5 } } \geqslant \ln{\frac{ 2 }{ 5 } }[/math].

Теперь делим обе части неравенства на [math]\ln{\frac{ 4 }{ 5 } }[/math].
Но поскольку это число отрицательно (подумайте, почему?), то знак неравенства меняется на противоположный. Вот и все объяснение.

Автор:  afraumar [ 13 авг 2014, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифм, неравенство, аналитический способ, знаки

venjar писал(а):
afraumar писал(а):




[math]\frac{ 4 }{ 5}^{x} = \frac{ 2 }{ 5 }[/math]

[math]ln(\frac{ 4 }{ 5}^{x}) = ln(\frac{ 2 }{ 5 } )[/math]

[math]x = \frac{ ln (\frac{ 2 }{ 5 }) }{ ln(\frac{ 4 }{ 5 }) }[/math]


Странно, у Вас неравенство, а Вы решаете уравнение?
Надо и решать неравенство, применяя эквивалентные преобразования.
Итак, приходим к неравенству
[math](\frac{ 4 }{ 5})^{x} \ge \frac{ 2 }{ 5 }[/math]

Логарифмируем обе части по основанию е (е>1!), поэтому знак неравенства сохраняется. Получим

[math]x\ln{\frac{ 4 }{ 5 } } \geqslant \ln{\frac{ 2 }{ 5 } }[/math].

Теперь делим обе части неравенства на [math]\ln{\frac{ 4 }{ 5 } }[/math].
Но поскольку это число отрицательно (подумайте, почему?), то знак неравенства меняется на противоположный. Вот и все объяснение.


Спасибо огромное! Простите, что сразу не ответила - очень Вам благодарна )

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/