Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
victory19933 |
|
|
(ответ есть: а=3) |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3. Картинка и решение завтра
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math |
||
radix |
|
|
Как и в прошлой задаче, сначала раскрывайте модуль по схеме [math]\left| f(x) \right| \leqslant a \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& f(x) \leqslant a \\ & f(x) \geqslant -a \end{aligned}\right.[/math]
Затем в каждом неравенстве всё переносим в одну часть и приводим к общему знаменателю. У меня получилась такая система: [math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-2)^2-(4-a)}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Решать её можно как в предыдущей задаче или обычным методом интервалов. Основная сложность при решении состоит в том, что значения нулей числителя и знаменателя выражаются через параметр а. Это значит, что в каждом случае нужно решать вопрос о взаимном расположении точек на числовой оси. Заметим, что при а>0 числитель первой дроби раскладывается на множители [math](x-\sqrt{3a})(x+\sqrt{3a} )[/math] При а<4 числитель второй дроби раскладывается на множители [math](x-(2-\sqrt{4-a} ))(x-(2+\sqrt{4-a} ))[/math] Знаменатель обращается в ноль при х=а. Очевидно только взаимное расположение точек [math]-\sqrt{3a}[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math] (при а>0, разумеется) А также точек [math]2-\sqrt{4-a}[/math] и [math]2+\sqrt{4-a}[/math] Остальные нужно сравнивать. Я напишу два сравнения. При решении использован знак [math]\lor[/math], который нужно понимать как знак, замещающий какой-либо из знаков сравнения >, <, и т.д. При решении неравенств допускаются любые действия, кроме умножения на отрицательное число. Таким образом мы обеспечим то, что знак неравенства в последней строке можно будет применить и к первой. Итак, решим вопрос о том, как расположены точки [math]\sqrt{3a}[/math] и [math]2-\sqrt{4-a}[/math] При 0<a<4: [math]\sqrt{3a} \lor 2-\sqrt{4-a}[/math] [math]\sqrt{3a} +\sqrt{4-a} \lor 2[/math] обе части больше нуля. Возводим в квадрат [math]2\sqrt{3a(4-a)} > -2a-2[/math] - так как правая часть отрицательна, а левая - положительна. Это значит, что при любом а [math]\sqrt{3a}>2-\sqrt{4-a}[/math] Ещё сравним [math]a[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math]: При a>0: [math]a \lor \sqrt{3a}[/math] обе части положительны, возводим в квадрат [math]a^2 \lor 3a[/math] [math]a(a-3) \lor 0[/math] Здесь будет знак [math]<[/math] при 0<a<3 и знак [math]>[/math] при a>3 Так нужно сравнить все нули числителя и знаменателя. А после применяем метод интервалов. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали: mad_math, victory19933 |
||
radix |
|
|
1. При a=0. Просто подставляем значение параметра и решаем систему. Ответ получается [math]x \in (0;4][/math] Очевидно, что условие задачи не выполняется, и на интервале [1;3] есть множество решений неравенства.
2. При a<0 числитель первой дроби всегда положителен. Поэтому система принимает вид: [math]\left\{\!\begin{aligned}& x-a>0 \\ & (x-(2-\sqrt{4-a}) )(x+(2+\sqrt{4-a})) \leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Решаем методом интервалов. При a<0, [math]a<2-\sqrt{4-a}[/math]. Поэтому решением в этом случае будет интервал [math]x \in [2-\sqrt{4-a};2+\sqrt{4-a} ][/math] Единственная возможность выполнения условия задачи - это чтоб левый конец этого интервала был равен 3, или правый конец равен 1. (Представьте решение на числовой оси) Только в этом случае в интервал [1;3] попадёт единственное решение. Проверкой убеждаемся, что обе эти ситуации невозможны. Значит, a<0 - не подходит. 3. Если 0<a<4. Система принимает вид: [math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{(x+\sqrt{3a})(x-\sqrt{3a})}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-(2-\sqrt{4-a}))(x-(2+\sqrt{4-a}))}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Этот пункт придётся разбить на подпункты. Это связано с различным взаимным расположением точек-нулей числителя и знаменателя на числовой оси в зависимости от значения а. 3.1 При 0<a<2 ... 3.2 При а=2 ... 3.3 При 2<a<3 ... 3.4 При а=3 ... 3.5 При 3<a<4 ... 4. При а=4 ... 5. При а>4 ... Для каждого случая нужно повторить рассуждения, аналогичные п.2. Вот, как то так. Решение не трудное, но очень долгое. Может, можно и проще, но я не знаю. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали: mad_math, victory19933 |
||
radix |
|
|
pewpimkin писал(а): Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3. По Вольфраму - ответ подходит к условию. |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Да опять условие прочитал не так, прочитал , как в предыдущем вопросе. Тогда все нормально . Решал я графически. Там все очень просто. Завтра отвечу. Сканер уже неохота включать. Если бы условие было, как в предыдущем вопросе, то ответ был бы тоже а=3.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math, victory19933 |
||
pewpimkin |
|
|
В графическом решении нужно всего-то нарисовать два графика а=х^2/3 и а=-х^2+4х
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math, victory19933 |
||
pewpimkin |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math, radix |
||
victory19933 |
|
|
pewpimkin
radix извините,что сразу не поблагодарила.. не ожидала что и со второй так быстро поможете! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Неравенство с параметром
в форуме Тригонометрия |
2 |
621 |
26 мар 2016, 21:59 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
1 |
285 |
27 мар 2016, 12:24 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
23 |
722 |
30 май 2021, 15:20 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
4 |
358 |
14 апр 2018, 20:26 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
3 |
206 |
15 май 2019, 20:02 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
4 |
393 |
10 дек 2014, 18:37 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
6 |
684 |
30 янв 2017, 21:17 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
23 |
990 |
05 май 2015, 18:02 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
2 |
950 |
05 апр 2014, 19:33 |
|
Неравенство с параметром
в форуме Алгебра |
2 |
84 |
22 май 2022, 04:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |