Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 18 июн 2014, 12:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июн 2014, 21:56
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти а,при которых неравенство [math]\left| \frac{ x^2-x-2a }{ x-a} -1 \right|[/math] [math]\leqslant 2[/math] имеет единственное решение на отрезке [1;3]

(ответ есть: а=3)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 18 июн 2014, 23:24 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3. Картинка и решение завтра

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 18 июн 2014, 23:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как и в прошлой задаче, сначала раскрывайте модуль по схеме [math]\left| f(x) \right| \leqslant a \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& f(x) \leqslant a \\ & f(x) \geqslant -a \end{aligned}\right.[/math]
Затем в каждом неравенстве всё переносим в одну часть и приводим к общему знаменателю. У меня получилась такая система:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-2)^2-(4-a)}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math]
Решать её можно как в предыдущей задаче или обычным методом интервалов. Основная сложность при решении состоит в том, что значения нулей числителя и знаменателя выражаются через параметр а. Это значит, что в каждом случае нужно решать вопрос о взаимном расположении точек на числовой оси.
Заметим, что при а>0 числитель первой дроби раскладывается на множители [math](x-\sqrt{3a})(x+\sqrt{3a} )[/math]
При а<4 числитель второй дроби раскладывается на множители [math](x-(2-\sqrt{4-a} ))(x-(2+\sqrt{4-a} ))[/math]
Знаменатель обращается в ноль при х=а.
Очевидно только взаимное расположение точек [math]-\sqrt{3a}[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math] (при а>0, разумеется)
А также точек [math]2-\sqrt{4-a}[/math] и [math]2+\sqrt{4-a}[/math]
Остальные нужно сравнивать. Я напишу два сравнения. При решении использован знак [math]\lor[/math], который нужно понимать как знак, замещающий какой-либо из знаков сравнения >, <, и т.д. При решении неравенств допускаются любые действия, кроме умножения на отрицательное число. Таким образом мы обеспечим то, что знак неравенства в последней строке можно будет применить и к первой.

Итак, решим вопрос о том, как расположены точки [math]\sqrt{3a}[/math] и [math]2-\sqrt{4-a}[/math]
При 0<a<4:
[math]\sqrt{3a} \lor 2-\sqrt{4-a}[/math]
[math]\sqrt{3a} +\sqrt{4-a} \lor 2[/math] обе части больше нуля. Возводим в квадрат
[math]2\sqrt{3a(4-a)} > -2a-2[/math] - так как правая часть отрицательна, а левая - положительна.
Это значит, что при любом а [math]\sqrt{3a}>2-\sqrt{4-a}[/math]

Ещё сравним [math]a[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math]:
При a>0:
[math]a \lor \sqrt{3a}[/math] обе части положительны, возводим в квадрат
[math]a^2 \lor 3a[/math]
[math]a(a-3) \lor 0[/math]
Здесь будет знак [math]<[/math] при 0<a<3
и знак [math]>[/math] при a>3

Так нужно сравнить все нули числителя и знаменателя.
А после применяем метод интервалов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math, victory19933
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 19 июн 2014, 00:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. При a=0. Просто подставляем значение параметра и решаем систему. Ответ получается [math]x \in (0;4][/math] Очевидно, что условие задачи не выполняется, и на интервале [1;3] есть множество решений неравенства.

2. При a<0 числитель первой дроби всегда положителен. Поэтому система принимает вид:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& x-a>0 \\ & (x-(2-\sqrt{4-a}) )(x+(2+\sqrt{4-a})) \leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math]
Решаем методом интервалов. При a<0, [math]a<2-\sqrt{4-a}[/math]. Поэтому решением в этом случае будет интервал [math]x \in [2-\sqrt{4-a};2+\sqrt{4-a} ][/math]
Единственная возможность выполнения условия задачи - это чтоб левый конец этого интервала был равен 3, или правый конец равен 1. (Представьте решение на числовой оси) Только в этом случае в интервал [1;3] попадёт единственное решение. Проверкой убеждаемся, что обе эти ситуации невозможны. Значит, a<0 - не подходит.

3. Если 0<a<4. Система принимает вид:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{(x+\sqrt{3a})(x-\sqrt{3a})}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-(2-\sqrt{4-a}))(x-(2+\sqrt{4-a}))}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math]
Этот пункт придётся разбить на подпункты. Это связано с различным взаимным расположением точек-нулей числителя и знаменателя на числовой оси в зависимости от значения а.
3.1 При 0<a<2
...
3.2 При а=2
...
3.3 При 2<a<3
...
3.4 При а=3
...
3.5 При 3<a<4
...

4. При а=4
...
5. При а>4
...
Для каждого случая нужно повторить рассуждения, аналогичные п.2.

Вот, как то так. Решение не трудное, но очень долгое. Может, можно и проще, но я не знаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
mad_math, victory19933
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 19 июн 2014, 00:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3.

По Вольфраму - ответ подходит к условию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 19 июн 2014, 00:27 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да опять условие прочитал не так, прочитал , как в предыдущем вопросе. Тогда все нормально . Решал я графически. Там все очень просто. Завтра отвечу. Сканер уже неохота включать. Если бы условие было, как в предыдущем вопросе, то ответ был бы тоже а=3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math, victory19933
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 19 июн 2014, 00:31 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В графическом решении нужно всего-то нарисовать два графика а=х^2/3 и а=-х^2+4х

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math, victory19933
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 19 июн 2014, 11:37 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math, radix
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство с параметром
СообщениеДобавлено: 21 июн 2014, 21:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 июн 2014, 21:56
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin
radix
извините,что сразу не поблагодарила.. не ожидала что и со второй так быстро поможете!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство с параметром

в форуме Тригонометрия

nata_leb

2

621

26 мар 2016, 21:59

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

Nikita_99

1

285

27 мар 2016, 12:24

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

tata00tata

23

722

30 май 2021, 15:20

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

Raijin

4

358

14 апр 2018, 20:26

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

Dayl

3

206

15 май 2019, 20:02

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

aninibas

4

393

10 дек 2014, 18:37

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

abrolechka

6

684

30 янв 2017, 21:17

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

Kulikcha

23

990

05 май 2015, 18:02

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

dasha math

2

950

05 апр 2014, 19:33

Неравенство с параметром

в форуме Алгебра

kristalliks

2

84

22 май 2022, 04:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved