Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 2 из 3 |
[ Сообщений: 25 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| dr Watson |
|
|
|
Определение. Избавление от иррациональности - это ... |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: victor1111 |
||
| Sonic |
|
|
|
Казалось бы, зачем нам алгебра?
Вот тут viewtopic.php?f=48&p=188363&sid=42ab7ffd7b232a27901065b420329935#p188363 обсуждали, как доказать, что сумма алгебраических чисел является алгебраической. Читаем доказательство и строим от него аналогичное рассуждение. Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]? Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? Ну и осталось все перемножить. ![]() dr Watson писал(а): Выражайтесь языком математики. Определение. Избавление от иррациональности - это ... 1) Пусть [math]x[/math] - переменная 2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно: а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ; б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ; в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ; г) других РРФ нет. 3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math]. Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math]. Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований. 4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности. Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Semen Bronza |
|
|
|
Sonic писал(а): Каков сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math]? Сопряженный элемент для [math]\sqrt{a}[/math] есть для [math]-\sqrt{a}[/math]. Sonic писал(а): Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения). dr Watson писал(а): Выражайтесь языком математики. Определение. Избавление от иррациональности - это ... Выражайтесь языком математики. Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций. Обычно при этом указывают исходное поле констант и рациональные операции над исходным полем констант, а сам переход осуществляют в полях расширения. Иначе, найти выражение элемента из поля расширения через элементы поля констант. В данном случае поле констант - поле многочленов над полем комплексных чисел, поле расширения - радикальные расширения. |
||
| Вернуться к началу | ||
| dr Watson |
|
|
|
Semen Bronza писал(а): Избавлением от иррациональности называется процедура перехода от иррационального выражения к рациональному, при помощи рациональных операций. Прекрасно. Вряд ли можно лишить умножение звания рациональной операции. Умножаем уравнение на ноль и избавляемся от иррациональности кардинальным образом. ЗЫ. Повторяюсь - это уже Sonic писал. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Semen Bronza |
|
|
|
Sonic писал(а): 1) Пусть [math]x[/math] - переменная 2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно: а)[math]f(x)=x[/math] - РРФ; б)[math]R(x)[/math] - РРФ, значит [math]\sqrt[n]{R(x)}[/math] - РРФ; в) [math]R_1(x),R_2(x)[/math] - РРФ, значит [math]R_1(x)\pm R_2(x), R_1(x)R_2(x), \frac{R_1(x)}{R_2(x)}[/math] - РРФ; г) других РРФ нет. 3) Пусть [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ. Рассмотрим соотношение [math]R(x)=S(x)[/math]. Элементарным преобразованием назовем превращение этого соотношения в [math]R(x)+T(x)=S(x)+T(x)[/math] или в [math]R(x)T(x)=S(x)T(x)[/math] или в [math]\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{S(x)}{T(x)}[/math]. Преобразованием соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] назовем цепочку элементарных преобразований. 4) Пусть [math]\varphi[/math] - преобразование соотношения [math]R(x)=S(x)[/math] в [math]U(x)=V(x)[/math]. Если [math]R(x),S(x)[/math] - РРФ, все [math]T(x)[/math] - РРФ, а [math]U(x),V(x)[/math] - дробно-рациональные функции, то [math]\varphi[/math] назовем избавлением от иррациональности. Упражнение: доказать, что умножение частей соотношения на нуль является избавлением от иррациональности. Вы очевидно не знакомы с расширением полей. См. ван дер Вандер Б.Л. Алгебра или книгу. - М.:Наука, 1976. - 648с. для школьников Алексеев В.Б. Теорема Абеля в решения и задачах. - М.:Наука, 1976. - 207с. Да. кстати, по поводу индуктивных определений, их впервые дал Галуа. Вы можете об этом прочесть в книге "Курс высшей алгебры" И.А. Серре |
||
| Вернуться к началу | ||
| Sonic |
|
|
|
Semen Bronza писал(а): Sonic писал(а): Как выглядят всевоозможные суммы вида [math]\alpha_i+\beta_j+...[/math], сколько их? На этот вопрос впервые ответил Галуа. Их число равно кол-во элементов в группе Галуа (в группе перестановок корней уравнения). Пусть даны корни [math]\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}[/math]. Каковы к ним сопряженные? Каковы всевозможные суммы всевозможных сопряженных? Просто выпишите их перебором. Будет [math]2^n[/math] сумм. Semen Bronza писал(а): Sonic писал(а): 1) Пусть [math]x[/math] - переменная Вы очевидно не знакомы с расширением полей....2) Определим рационально-радикальную функцию (РРФ) индуктивно:... ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Semen Bronza |
|
|
|
dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Semen Bronza |
|
|
|
Sonic, не более 2^n если все корни квадратные. В случае если корни имеют другие порядки или есть суперпозиция корней ответы на много сложнее. Точным ответом будет: число сопряженных корней равно степени канонического многочлена определенного данным алгебраическим числом минус единица.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| dr Watson |
|
|
|
Semen Bronza писал(а): dr Watson, с тем же успехом решая любое уравнение Вы можете умножить обе части уравнения на 0. Равенство не измениться. Но и решение вы не получите. Равенство могло бы не измениться (если бы я с ним ничего не делал), но оно изменится. Решение, согласен, не получу. Так Вы такой задачи и не ставили. Напомнить? Semen Bronza писал(а): Надо не решить уравнение, а избавиться от иррациональности. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Semen Bronza |
|
|
|
Ваши ответы постоянно уводят от сути проблемы. Не будем относить к рациональной операции умножение на ноль. Кстати. классики тоже исключали эту операцию.
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу Пред. 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 25 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Освободится от иррациональности
в форуме Алгебра |
7 |
275 |
21 мар 2024, 10:33 |
|
|
Избавить от иррациональности
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
9 |
750 |
02 июн 2016, 11:46 |
|
|
Что больше? Как избавиться от иррациональности?
в форуме Алгебра |
5 |
459 |
28 апр 2017, 23:37 |
|
|
Избавьтесь от иррациональности в равенстве
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
393 |
24 янв 2019, 18:10 |
|
| Задача на доказательство иррациональности | 3 |
1270 |
13 июн 2021, 15:44 |
|
|
Различными способами освободиться от иррациональности
в форуме Алгебра |
2 |
398 |
21 янв 2015, 01:56 |
|
|
Вопрос по заданию: Освободиться от иррациональности
в форуме Алгебра |
8 |
516 |
02 ноя 2016, 19:27 |
|
|
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
в форуме Алгебра |
1 |
453 |
14 ноя 2015, 23:52 |
|
|
Можно ли избавиться от иррациональности простым вычитанием?
в форуме Алгебра |
11 |
470 |
21 фев 2022, 13:57 |
|
|
Избавиться от иррациональности в очень сложном выражении
в форуме Алгебра |
13 |
1182 |
08 апр 2016, 04:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |