Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 17:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 май 2013, 21:21
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогитеее!
[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} \leqslant \frac{ 56 }{x }+5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 17:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
x=7 - подбором. Этот корень вполне очевидный.
Затем переносим корень, перед которым минус, вправо.
Слева имеем монотонно возрастающую функцию, а справа - монотонно убывающую (на ОДЗ). Значит, более одного пересечения быть не может.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 17:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если проанализировать такое

[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} - \frac{ 56 }{x }-5 \leqslant 0[/math]

то окажется, функция положительная и лишь при x=7 равна нулю.
Поэтому решение простое: [math]x=7[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Bettykorablik, Woxa999
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:03 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 май 2013, 21:21
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если проанализировать такое

[math]\sqrt{x^{3} + 233}+\sqrt{x^{2}-49}-\sqrt{128-x} - \frac{ 56 }{x }-5 \leqslant 0[/math]

то окажется, функция положительная и лишь при x=7 равна нулю.
Поэтому решение простое: [math]x=7[/math]

А как вы "проанализировали" такое?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Woxa999 писал(а):
А как вы "проанализировали" такое?

Он забил в автоматический решатель, оно и "проанализировалось". Само. :D1
radix писал(а):
x=7 - подбором. Этот корень вполне очевидный.

Сейчас в ЕГЭ вообще часто попадаются задания, где корень нужно банально угадать. Это несложно, но если все мысли о том, как аналитически найти решение, то такой очевидный шаг в голову не придёт. Дальнейшее решение сводится к тому, что "ну, вот корень мы угадали, теперь докажем, что он единственный". Пример доказательства в моём предыдущем посте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Woxa999
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 май 2013, 21:21
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как быстро увидеть, что функция убывает или возрастает монотонно? Нигде не читал про монотонные функции. Посоветуйте какие есть теор.материалы на эту тему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почитать можно, например, в школьных учебниках алгебры, в разделах "Исследование функций" или "преобразование графиков".
Суть в том, что если f(x) возрастает на каком либо промежутке, то
kf(x), f(kx), f(x+a), f(x)+a - тоже возрастают.
f(-x), -f(x), 1/f(x) (если f(x) не равно 0)- убывают.
Запоминать не нужно, достаточно представить, какие преобразования графика происходят (растяжение, отражение, сдвиг и т.п.)
Можно через производную, но это более сложный путь. Хотя в качестве проверки результата, полученного первым способом, сойдёт.
В Вашем примере можно рассуждать так:
Для начала найдём ОДЗ. Далее определим характер функций на найденном ОДЗ:
[math]\sqrt{x}[/math] - возрастает (график представьте себе), [math]x^{3}[/math] - возрастает, значит, [math]\sqrt{x^3}[/math] - возрастает и [math]\sqrt{x^3+233}[/math] - тоже возрастает.
[math]\sqrt{x}[/math] - возрастает, значит, [math]\sqrt{-x}[/math] - убывает (график получается зеркальным отображением относительно оси OY), [math]\sqrt{128-x}[/math]- тоже убывает.
[math]\frac{ 1 }{ x }[/math] - убывает при [math]x>0[/math] , значит, [math]\frac{ 56 }{ x }[/math] - тоже убывает.
И так далее.
Сумма двух возрастающих функций - возрастающая функция.
Сумма двух убывающих функций - убывающая функция.
Композиция двух возрастающих (убывающих) функций возрастает (убывает).
Это то, что можно делать "в уме". Не знаю, нужно ли подробно это расписывать на экзамене.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Woxa999
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В книгах для подготовки к ЕГЭ просто пишут: "Левая часть уравнения представляет собой монотонно возрастающую функцию, а правая часть - константа (или монотонно убывающая). Поэтому если графики пересекаются, то только в одной точке. Это доказывает единственность [угаданного] решения.
Всё. Подробно не расписывают, как они дошли до "монотонности".
Но на экзамене требования могут быть другими. :(


Последний раз редактировалось radix 28 май 2014, 18:46, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Woxa999
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 18:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я все очень просто сделал: проанализировал ОДЗ трех корней и получил, что

[math]7\le x \le 128[/math]

Вычислил несколько точек функции, она оказалась гладкой, положительной и только при x=7 обнуляется. Что сложного-то?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Bettykorablik, Woxa999
 Заголовок сообщения: Re: Ужасное неравенство
СообщениеДобавлено: 28 май 2014, 21:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 май 2013, 21:21
Сообщений: 80
Cпасибо сказано: 46
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
:good: Понятно! Огромное спасибо!(просто у нас в лицее так подробно не объясняют)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

swan

4

621

02 авг 2015, 10:24

Неравенство

в форуме Алгебра

Kristinadefa

3

286

11 окт 2015, 21:21

Неравенство

в форуме Алгебра

tanyhaftv

4

173

25 окт 2018, 14:05

Неравенство

в форуме Алгебра

Ramdesu

11

403

16 июл 2018, 12:09

Неравенство

в форуме Алгебра

VladGreen

10

466

14 июл 2018, 20:32

Неравенство

в форуме Алгебра

alimira

2

374

06 ноя 2015, 19:45

Неравенство

в форуме Алгебра

vitgon

8

458

11 ноя 2015, 20:51

Неравенство

в форуме Алгебра

Maxim2705

7

413

21 дек 2015, 19:56

Неравенство

в форуме Тригонометрия

rook185

1

304

14 янв 2016, 17:22

Неравенство

в форуме Алгебра

vlad-optim

1

332

18 янв 2016, 12:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved