Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
andrewkook1999366 |
|
||
[math]x^4-7x^2+2x+2=|4x-1|-|2x^2-3|[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
Подсказка: умножьте обе части уравнения на выражение сопряжённое правой части.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Analitik, mad_math |
||
Alexander N |
|
||
Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений.
1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math] Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math] Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет! 3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math] Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math] Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math] Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для [math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math] Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math] Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math] Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений. ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: mad_math |
|||
Avgust |
|
||
Всегда нужно контролировать аналитику (интересно, что все пересечения находятся на оси OX):
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: mad_math |
|||
victor1111 |
|
|
Alexander N писал(а): Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений. 1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math] Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math] Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет! 3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math] Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math] Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math] 4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math] Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для [math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math] Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math] Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math] Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений. ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math] x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
victor1111 писал(а): x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения. Вот именно. Я ждал: заметит ли кто-нибудь пропущенный корень? |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
||
Выше ведь подсказывали
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math, radix, vvvv |
|||
Alexander N |
|
|
Во втором случае я допустил описку - правильный вариант =>
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x+4=0[/math] Здесь подходит корень [math]x=1-\sqrt{2}[/math], который кстати тупо можно найти и методом Ньютона. PS. 1). Так что в принципе мое решение тоже правильное, хотя оно и тупое. Мое уважение Uncle Fedor и pewpimkin. 2). В принципе простой подбор корней весьма эффективен, если к подбору целочисленных значений добавить еще м подбор простых типовых радикалов. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: mad_math |
||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Параметрическое неравенство второй степени с модулем
в форуме Алгебра |
16 |
293 |
28 ноя 2023, 01:25 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Тригонометрия |
19 |
1160 |
23 янв 2015, 21:24 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Алгебра |
3 |
200 |
18 сен 2016, 23:36 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Алгебра |
1 |
308 |
25 июл 2016, 14:32 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Алгебра |
2 |
128 |
27 ноя 2023, 23:21 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Тригонометрия |
6 |
456 |
06 дек 2014, 12:32 |
|
Уравнение с модулем
в форуме Алгебра |
8 |
533 |
13 окт 2014, 22:04 |
|
Уравнение с параметром и модулем
в форуме Алгебра |
3 |
233 |
19 фев 2018, 23:55 |
|
Тригонометрическое уравнение с модулем
в форуме Тригонометрия |
4 |
243 |
14 апр 2020, 10:33 |
|
Тригонометрическое уравнение с модулем
в форуме Тригонометрия |
8 |
752 |
23 июн 2014, 12:07 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |