Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 16 сен 2013, 16:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 сен 2013, 16:31
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста!366

[math]x^4-7x^2+2x+2=|4x-1|-|2x^2-3|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 16 сен 2013, 19:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подсказка: умножьте обе части уравнения на выражение сопряжённое правой части.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Analitik, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 17 сен 2013, 01:30 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений.
1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math]
Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math]
Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет!
3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math]
Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math]
Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math]
Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для
[math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math]
Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math]
Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math]
Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений.
ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 13:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всегда нужно контролировать аналитику (интересно, что все пересечения находятся на оси OX):
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 15:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Необходимо рассмотреть все случаи для раскрытия подмодульных выражений.
1). [math]x \le - \sqrt{\frac{3}{2}}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x-2x^2+3; => x^4-5x^2+6x-2=0[/math]
Полином представляется в виде [math](x-1)^2(x^2+2x-2)=0 =>x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3}=> X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
Первый корень в первом интервале [math]X_1=-1-\sqrt{3}\le - \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x-4=0[/math]
Подбором числовых значений нетрудно показать, что полином отрицательно определен и корней не имеет!
3). [math]\frac{1}{4}\le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}=> X^4-7x^2=2x+2=4x-1-3+2x^2 => x^4-9x^2-2x+6=0[/math]
Простым подбором целочисленных корней находим множители [math](x+1)(x+3)(x^2+2x-2)=0 => x_{1,2}=-1\pm\sqrt{3} =>X_2=\sqrt{3}-1[/math]
Второй корень в третьем интервале [math]\frac{1}{4} \le X_2=\sqrt{3}-1 \le \sqrt{\frac{3}{2}}[/math]
4). [math]\sqrt{\frac{3}{2}}\le x => x^4-7x^2+2x+2=4x-1-2x^2+3 => x^4-5x^2-2x=0 => x^3-5x-2=0[/math]
Очевидно, что полином имеет в данном интервале вещественный корень, в чем нетрудно убедиться, проделав расчеты для
[math]x=2 => P\le0; x=3 =>P \ge 0; x=2,5 => P\ge 0; x=2,4 => P \le 0[/math]
Использовать формулы Кардано для отыскания этого вещественного корня нецелесообразно. Поэтому лучше всего воспользоваться численным методом Ньютона. [math]=> x_{n+1}=x_n - \frac{P(x_n)}{P'(x_n)}=x_n - \frac{x_n^3-5x_n-2}{3x_n^2-5}=x_n\frac{2}{3}+\frac{10x_n+6}{9x_n^2-15}[/math]
Если в качестве нулевого приближения взять [math]X_{3o}=2,5;[/math] то сразу получается неплохое первое приближение [math]X_{31}=2,41[/math]
Процесс уточнения значения корня не представляет никаких принципиальных затруднений.
ОКОНЧАТЕЛЬНО ПОЛУЧАЕМ У ЗАДАННОГО ПОЛИНОМА ТРИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЯ [math]X_1=-1-\sqrt{3}; X_2=\sqrt{3}-1; X_{31}=2,41......[/math]

x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 16:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
victor1111 писал(а):
x=-0.41...-это тоже корень исходного уравнения.

Вот именно. Я ждал: заметит ли кто-нибудь пропущенный корень? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 18:32 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выше ведь подсказывали

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math, radix, vvvv
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение 4-й степени с модулем
СообщениеДобавлено: 18 сен 2013, 22:43 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором случае я допустил описку - правильный вариант =>
2). [math]- \sqrt{\frac{3}{2}}\le x \le \frac{1}{4}=> x^4-7x^2+2x+2=1-4x+2x^2-3; =>x^4-9x^2-6x+4=0[/math]
Здесь подходит корень [math]x=1-\sqrt{2}[/math], который кстати тупо можно найти и методом Ньютона.
PS. 1). Так что в принципе мое решение тоже правильное, хотя оно и тупое. Мое уважение Uncle Fedor и pewpimkin.
2). В принципе простой подбор корней весьма эффективен, если к подбору целочисленных значений добавить еще м подбор простых типовых радикалов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Параметрическое неравенство второй степени с модулем

в форуме Алгебра

albatroskuku

16

293

28 ноя 2023, 01:25

Уравнение с модулем

в форуме Тригонометрия

Nas_tya+-

19

1160

23 янв 2015, 21:24

Уравнение с модулем

в форуме Алгебра

kucher

3

200

18 сен 2016, 23:36

Уравнение с модулем

в форуме Алгебра

photographer

1

308

25 июл 2016, 14:32

Уравнение с модулем

в форуме Алгебра

OlegNik

2

128

27 ноя 2023, 23:21

Уравнение с модулем

в форуме Тригонометрия

keyasrussian

6

456

06 дек 2014, 12:32

Уравнение с модулем

в форуме Алгебра

Appolinariya

8

533

13 окт 2014, 22:04

Уравнение с параметром и модулем

в форуме Алгебра

vestaesenina

3

233

19 фев 2018, 23:55

Тригонометрическое уравнение с модулем

в форуме Тригонометрия

KOPMOPAH

4

243

14 апр 2020, 10:33

Тригонометрическое уравнение с модулем

в форуме Тригонометрия

sfanter

8

752

23 июн 2014, 12:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved