Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 15 авг 2013, 18:32 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.
Сама не решила и нашла такое решение, но не понимаю:
Предположим, что число n - составное, т.е. n=k*m, где 1 < k < n. Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??.
Следовательно, (n-1)!+1 не делится на k, а поэтому (n-1)!+1 не делится на n (ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?), что противоречит условию.
Таким образом, n не может быть составным, т.е. оно - простое.

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 15 авг 2013, 19:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
afraumar писал(а):
Тогда (n-1)! делится на k (ПОЧЕМУ ТОГДА ДЕЛИТСЯ НА К??.

В (n-1)! присутствуют все множители от 1 до n-1 включительно. 1<k<n. Значит, k где-то там :wink:
afraumar писал(а):
(ПОЧЕМУ ЕСЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ НА N, ТО НЕ ДЕЛИТСЯ НА К?)

Наоборот! Не делится на k , значит не делится на n. Это следует из n=km.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 15 авг 2013, 19:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
afraumar писал(а):
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.

Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 15 авг 2013, 20:24 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
afraumar писал(а):
Задача: Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.
Это теорема Вильсона (А.А.Бухштаб,стр.132)
Не совсем: теорема (критерий) Вильсона - она в обе стороны, а тут - только в одну.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 14:53 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Простите, пожалуйста, за глупые вопросы, но я не понимаю доказательство (вложенный файл). Буду очень благодарна, если объясните.
Мои вопросы:
1) почему если мы задаем, что p больше либо равно 3, то очевидно (в доказательстве стоит "т.е."), что p нечетно?

2) рассматривается свободный член сравнения, что это значит (я вижу, что он равен (p-1)!). Как читается и что значит эта запись f(x) и почему в ней мы от некоего числа х вычитаем последовательно 1, 2.... и p-1?

3) почему мы далее рассматриваем такое равенство [math]x^{p-1}-1 = f(x)*1+r(x)[/math]? почему из х в степени p-1 вычитаем 1 и это равно тому, что написано?
есть ссылка на доказательство теоремы 150, но там рассмотрен многочлен с коэффициентами. да и само доказательство я, конечно, не понимаю

Буду благодарна, если потратите 2 минуты, чтобы написать это другим, более понятным языком - если не сложно.
Спасибо




Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 17:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Единственное четное простое число - это 2. Так как p -простое и больше 3, то оно нечетное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 17:54 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
afraumar писал(а):
Как читается и что значит эта запись f(x)
В смысле Вы хотите спросить, что она вообще значит? :shock:
Мы просто рассматриваем многочлен [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] и обозначаем его [math]f(x)[/math], т.е. функция от [math]x[/math]. Каким образом автор на него наткнулся - другой вопрос, для доказательства это неважно.
Вообще, следует привыкнуть, что в доказательствах не объясняют, что и из каких соображений рассматривают (только не надо это путать с выводами, все выводы должны быть объяснены). Просто потому, что к доказательству это не относится + это было бы сильно длинно.
Вообще, там автор доказывает, что многочлены [math]x^{p-1}-1[/math] и [math](x-1)(x-2)...(x-(p-1))[/math] одинаковы по модулю [math]p[/math], из чего делает вывод, что их свободные члены равны (а это как раз и есть теорема Вильсона). Для доказательства одинаковости многочленов по модулю [math]p[/math] автор рассматривает их корни и степени. Корней всего [math]p-1[/math], множества корней многочленов совпадают, а степени не больше [math]p-1[/math], значит многочлены совпадают - идея такая, а точные рассуждения - смотрите в доказательстве.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 18:04 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" :D1 . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.
afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 18:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
afraumar
Чтобы правильно понять теорему 153 из Бухштаба, надо по крайней мере
просмотреть, что было сказано до этого. Ну хотя бы теоремы Ферма и Эйлера.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
afraumar, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Докажите, что если (n – 1) факториал+ 1 делится на n, то
СообщениеДобавлено: 16 авг 2013, 19:25 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
i-sm писал(а):
По приведенному доказательству, функция f(x) взята "с потолка" :D1 . Почему она именно такая, наверное, можно понять из рассуждений и теорем, помещенных в книге до этой теоремы.
afraumar, откуда взят этот скан, из какого учебника?
Да не берутся они с потолка. Просто рассуждения, приводящие к ним - это не доказательство, потому их не пишут (и так Бухштаб 400 стр содержит, хотите, чтобы автор объяснял все догадки (которые не записаны)?)
Многочлен [math]x^{p-1}-1[/math], конечно, навеян малой теоремой Ферма. Второй многочлен построен по множеству корней первого.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
afraumar
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Средствами векторной алгебры докажите, что если точки E и F

в форуме Геометрия

tanyhaftv

6

419

18 ноя 2021, 21:42

Если углы альфа бета и гамма углы треугольника то докажите н

в форуме Геометрия

mdauletiyarov

8

538

23 дек 2021, 12:48

Факториал

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PolinaMuller

3

213

06 ноя 2018, 22:50

Факториал

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

bikeparadise

4

508

07 апр 2015, 11:12

Факториал

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Chapollino

4

411

03 ноя 2016, 07:26

Факториал

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

antagonism

1

385

09 янв 2017, 17:10

Факториал

в форуме Алгебра

DeD

8

389

05 окт 2016, 21:23

Факториал выражения

в форуме Алгебра

hranitel6

1

644

15 ноя 2016, 00:41

Упростить факториал

в форуме Алгебра

gelocin

3

540

22 окт 2016, 13:57

Как сокращать факториал?

в форуме Алгебра

metanol2015

2

1422

25 янв 2016, 13:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved