Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25937
Страница 1 из 2

Автор:  afraumar [ 12 авг 2013, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

Добрый день!

1) Буду очень благодарна, если поможете понять, почему
[math]-12 \equiv 3 \pmod{5}[/math]
[math]-1 \pmod{10}[/math] остаток 9?

Если -12 разделить на 5, то остаток получается 3, верно? -12=-3*5+3
А если отрицательное число -1, а модуль 10?
И если число (как выше) 3, а модуль 5?

Пожалуйста, объясните доступным языком. Спасибо!

2) [math]13 \equiv 37 \pmod{6}[/math] никак не пойму, что означает данная запись? что 13 и 37 при делении на 6 дают одинаковые остатки? Но тогда как быть с выражением в первом вопросе?

3) И я не понимаю -в разных местах разное определение сравнения по модулю, какое верное?

1) Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:
[math]a \equiv b \pmod{m}[/math].
2) Два натуральных числа a и b сравнимы по модулю m, если равны их остатки от деления на m

Автор:  Sonic [ 12 авг 2013, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

[math]a\equiv b\pmod m \Leftrightarrow m|(b-a)[/math] - [math]m[/math] делит [math]b-a[/math] - это более понятное и общеупотребительное определение. А так определения в [math]\mathbb{Z}[/math] эквивалентны

Остаток от деления [math]x\bmod m = x - m\left[\frac{x}{m}\right][/math], где [math][t][/math] - целая часть числа [math]t[/math]. Для приведенных Вами случаев считается так же.

Автор:  afraumar [ 12 авг 2013, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

Sonic писал(а):
[math]a\equiv b\pmod m \Leftrightarrow m|(b-a)[/math] - [math]m[/math] делит [math]b-a[/math] - это более понятное и общеупотребительное определение. А так определения в [math]\mathbb{Z}[/math] эквивалентны

Остаток от деления [math]x\bmod m = x - m\left[\frac{x}{m}\right][/math], где [math][t][/math] - целая часть числа [math]t[/math]. Для приведенных Вами случаев считается так же.


спасибо Вам. но я пока не понимаю эти знаки ( буду очень благодарна, если приведете примеры (хотя бы 2) и покажете, как считается - на моих примерах (с отрицательными числами, числами меньше m, то есть делителя - какой алгоритм)
Спасибо!

Автор:  i-sm [ 12 авг 2013, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

afraumar писал(а):
3) И я не понимаю -в разных местах разное определение сравнения по модулю, какое верное?

1) Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:
a ≡ b (mod m).
2) Два натуральных числа a и b сравнимы по модулю m, если равны их остатки от деления на m

Оба верные. В них написано одно и то же, только разными словами.
В любом случае при делении числа с остатком есть два варианта решения. Например, делим 14 на 5:
1) Получаем 2 и в остатке 4;
2) Получаем 3 и в остатке -1.
(Проверьте умножением)
afraumar писал(а):
2) 13≡37(mod 6) никак не пойму, что означает данная запись? что 13 и 37 при делении на 6 дают одинаковые остатки? Но тогда как быть с выражением в первом вопросе?

И в первом вопросе то же самое: 3 при делении на 5 дает остаток 3, и -12 при делении на 5 дает остаток 3.
Если делитель больше делимого:
3 делим на 5, получаем 0 и в остатке 3.

Автор:  Sonic [ 12 авг 2013, 19:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

i-sm писал(а):
afraumar писал(а):
3) И я не понимаю -в разных местах разное определение сравнения по модулю, какое верное?

1) Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:
a ≡ b (mod m).
2) Два натуральных числа a и b сравнимы по модулю m, если равны их остатки от деления на m

Оба верные. В них написано одно и то же, только разными словами.
Врете, это разные определения.

i-sm писал(а):
В любом случае при делении числа с остатком есть два варианта решения. Например, делим 14 на 5:
1) Получаем 2 и в остатке 4;
2) Получаем 3 и в остатке -1.
(Проверьте умножением)
Врете, остаток определяется однозначно по вышеприведенной формуле.

Автор:  afraumar [ 12 авг 2013, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

вот еще нашла
"Развитие идеи делимости в математике привело к понятию сравнения: два целых числа a и b называют сравнимыми по модулю m, если разность a – b кратна натуральному числу m. Этот факт записывают в виде a≡b (mod m). Например: 7≡3 (mod 2), –10≡4 (mod 7), 35≡0 (mod 5)."

таким образом получается, что в общем-то оба определения действительно означают одно и то же, поскольку если например 7≡3 (mod 2), то 7-3 кратно 2м и остатки при делении 7 и 3 на 2 тоже одинаковые - оба определения работают.
и также получается, что совершенно любое число сравнимо с 0 по совершенному любому модулю, верно?

Автор:  i-sm [ 12 авг 2013, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

Sonic писал(а):
i-sm писал(а):
afraumar писал(а):
3) И я не понимаю -в разных местах разное определение сравнения по модулю, какое верное?

1) Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:
a ≡ b (mod m).
2) Два натуральных числа a и b сравнимы по модулю m, если равны их остатки от деления на m

Оба верные. В них написано одно и то же, только разными словами.

Врете, это разные определения..

Простите, меня покоробило слово "врете". Надеюсь, что Вы имели в виду "заблуждаетесь".
Если строго придираться, то определением является только первое. Второе же является признаком.
В моей фразе был смысл "Оба <утверждения> верные". Простите за "проглоченные" слова. Про "одно и то же", признаю, сгоряча. Хотя с точки зрения практического применения в решении, эти два утверждения о-о-очень близки. На мой взгляд.
Sonic писал(а):
i-sm писал(а):
В любом случае при делении числа с остатком есть два варианта решения. Например, делим 14 на 5:
1) Получаем 2 и в остатке 4;
2) Получаем 3 и в остатке -1.
(Проверьте умножением)
Врете, остаток определяется однозначно по вышеприведенной формуле.

Возможно, заблуждаюсь. У меня была цель словами описать, что к неполному частному можно подобраться с разных сторон.Можно вот так записать:
[math]14 \equiv 4 (mod 5)[/math]
[math]14 \equiv -1 (mod 5)[/math]
В любом случае, спасибо за поправки.

Автор:  i-sm [ 12 авг 2013, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

afraumar писал(а):
и также получается, что совершенно любое число сравнимо с 0 по совершенному любому модулю, верно?

Нет. С нулем сравнимо по модулю N только то число, которое делится нацело на N.

Автор:  afraumar [ 12 авг 2013, 21:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

да да, Sonic, пожалуйста, в моих постах не обращайтесь так к людям - хотя я уверена, что вы использовали глагол "врете" не совсем в прямом его значении. но тем не менее

Автор:  afraumar [ 12 авг 2013, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сравнение по модулю - отрицательное число и число меньшее

i-sm писал(а):
Sonic писал(а):
i-sm писал(а):
afraumar писал(а):
3) И я не понимаю -в разных местах разное определение сравнения по модулю, какое верное?

1) Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:
a ≡ b (mod m).
2) Два натуральных числа a и b сравнимы по модулю m, если равны их остатки от деления на m

Оба верные. В них написано одно и то же, только разными словами.

Врете, это разные определения..

Простите, меня покоробило слово "врете". Надеюсь, что Вы имели в виду "заблуждаетесь".
Если строго придираться, то определением является только первое. Второе же является признаком.
В моей фразе был смысл "Оба <утверждения> верные". Простите за "проглоченные" слова. Про "одно и то же", признаю, сгоряча. Хотя с точки зрения практического применения в решении, эти два утверждения о-о-очень близки. На мой взгляд.
Sonic писал(а):
i-sm писал(а):
В любом случае при делении числа с остатком есть два варианта решения. Например, делим 14 на 5:
1) Получаем 2 и в остатке 4;
2) Получаем 3 и в остатке -1.
(Проверьте умножением)
Врете, остаток определяется однозначно по вышеприведенной формуле.

Возможно, заблуждаюсь. У меня была цель словами описать, что к неполному частному можно подобраться с разных сторон.Можно вот так записать:
[math]14 \equiv 4 (mod 5)[/math]
[math]14 \equiv -1 (mod 5)[/math]
В любом случае, спасибо за поправки.

спасибо, не очень поняла [math]14 \equiv -1 (mod 5)[/math] , то есть с минус 1. как мы минус 1 делим на 5, чтобы получить остаток 4?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/