Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 19:07 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Пожалуйста, посмотрите:
Доказать, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа.

Не пойму, почему у меня не получается - я что-то не замечаю, но что?
a(a+1)(a+2)(a+3)+1
Если раскрыть скобки, то получается что-то, из чего квадрат вообще не виден [math]a^{4} +6a^{3}+11a^{2}+6a+1[/math]

Что неверно?
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 19:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Hagrael, i-sm
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 19:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Справедливо тождество:

[math]a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2[/math]

И левая часть равенства и правая равны тому, что Вы написали в виде полинома четвертой степени.

Решить можно методом Феррари, но я легко нашел подбором.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 19:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]


спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 19:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
afraumar
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 20:10 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Произведение есть разность квадратов.Пример [math](m+1)(m-1)=m^{2}-1[/math]

простите, пожалуйста, но правда не понимаю (формулу разности квадратов, конечно, знаю, но не вижу ее здесь). Пожалуйста, напишите чуть более подробно
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 09 авг 2013, 20:26 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
afraumar писал(а):
andrei писал(а):
[math]a(a+3)=(a^{2}+3a+1)-1[/math]
[math](a+1)(a+2)=(a^{2}+3a+1)+1[/math]

спасибо, а как дальше? из этого получается [math]((a^{2}+3a+1)-1)*((a^{2}+3a+1)+1)+1[/math], то есть то, что у меня. как получить квадрат из этого?

Подставьте
[math]m=(a^{2}+3a+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю i-sm "Спасибо" сказали:
afraumar
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 10 авг 2013, 21:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решал несколько по-иному. Вы получили полином:

[math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math]

Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений:

[math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math]

Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим:

[math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math]

Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений:

[math]Z+X=6[/math]

[math]W+XZ+Y=11[/math]

[math]XW+YZ=6[/math]

[math]YW=1[/math]

Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта:
1) [math]Y=W=1[/math]
2) [math]Y=W=-1[/math]

Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math]
Подставим эти значения в первые три уравнения:

[math]X+Z=6[/math]

[math]XZ=9[/math]

[math]X+Z=6[/math]

На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math]

Подставим полученные данные в наше общее уравнение:

[math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math]

Что требовалось доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
afraumar, Hagrael
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 11 авг 2013, 13:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andrei i I-sm, спасибо, особенно за терпение! Но я все равно не понимаю - у нас есть еще +1.
Смотрите, [math](a^{2}+3a+1)^{2}+1[/math], а в задании сказано, что если прибавить к этому числу 1, то получится квадрат числа, а у нас без +1 получается квадрат числа. Что я неправильно понимаю?
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - произведение последовательно натуральных чисел
СообщениеДобавлено: 11 авг 2013, 13:24 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Я решал несколько по-иному. Вы получили полином:

[math]a^4+6a^3+11a^2+6a+1[/math]

Этот полином попытаемся представить в виде произведения двух квадратных уравнений:

[math](a^2+Xa+Y)(a^2+Za+W)[/math]

Перемножим скобки и приведем подобные члены. В результате получим:

[math]{a}^{4}+ \left( Z+X \right) {a}^{3}+ \left( W+XZ+Y \right) {a}^{2}+ \left( XW+YZ \right) a+YW[/math]

Сравнивая в Вашим полиномом, запишем систему четырех уравнений:

[math]Z+X=6[/math]

[math]W+XZ+Y=11[/math]

[math]XW+YZ=6[/math]

[math]YW=1[/math]

Посмотрим на последнюю строку. Так как у нас задача целочисленная, то дробей быть не должно. Поэтому могут быть только два варианта:
1) [math]Y=W=1[/math]
2) [math]Y=W=-1[/math]

Пусть будет первый вариант. Итак, [math]Y=1 \, ; \, W=1[/math]
Подставим эти значения в первые три уравнения:

[math]X+Z=6[/math]

[math]XZ=9[/math]

[math]X+Z=6[/math]

На наше счастье первое уравнение и третье уравнение одинаковы. Это означает, что Y и W выбравны верно. Решаем первые два уравнения и получим [math]X=3\, ; \, Z=3[/math]

Подставим полученные данные в наше общее уравнение:

[math](a^2+3a+1)(a^2+3a+1)[/math]

Что требовалось доказать.


Класс!!! Спасибо! Поищу еще примеры с полиномами, чтобы закрепить такой вариант - он долгий, правда, но интересный

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что частое натуральных чисел является натуральным

в форуме Алгебра

tata00tata

5

183

28 фев 2021, 15:17

Разбиения натуральных чисел

в форуме Теория чисел

ivashenko

12

846

04 апр 2019, 17:23

Сумма натуральных чисел

в форуме Алгебра

serg10

2

224

13 сен 2019, 10:13

Сумма последовательных натуральных чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

spins06

8

1799

30 июн 2015, 19:06

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Nikolay_Tyan

85

1891

04 июн 2019, 20:29

Об определении множества натуральных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nikitaxc

8

457

13 дек 2017, 23:51

Сумма всех натуральных чисел

в форуме Ряды

dexforint

2

470

21 мар 2016, 18:35

Сжатие множества натуральных чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

granit201z

7

587

05 июн 2017, 20:38

Найти количество натуральных чисел

в форуме Теория чисел

Trek

6

1152

16 янв 2015, 21:20

Найти все пары натуральных чисел

в форуме Алгебра

alick

3

752

19 янв 2018, 19:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved