Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
afraumar |
|
|
Пожалуйста, подскажите алгоритм решения задания. Докажите, что при любых целых a и b значение дроби [math]\frac{ ab(a^{2}-b^{2})}{6 }[/math]является целым числом. Если я правильно понимаю, что получается, что [math]ab(a^{2}-b^{2}) = 6k[/math] , то есть делится на 6 без остатка. Но как действовать дальше? Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Примените метод мат. индукции.
При [math]b=1[/math] имеем [math]a(a+1)(a-1)[/math] и т.д. |
||
Вернуться к началу | ||
Hagrael |
|
|
Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math].
Так вот, при [math]b=1[/math]: [math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math] Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math]. При [math]b=2[/math]: [math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math] Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math]. И так далее до [math]b=6[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Hagrael "Спасибо" сказали: afraumar |
||
Sonic |
|
|
Можно добавит пару технических замечаний:
[math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36. Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
[math]ab\left({a^2 - b^2}\right) = ab\left({\left({a^2 - 1}\right) - \left({b^2 - 1}\right)}\right) = ab\left({a^2 - 1}\right) - ab\left({b^2 - 1}\right)[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: andrei, Hagrael, i-sm |
||
afraumar |
|
|
Sonic писал(а): Можно добавит пару технических замечаний: [math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36. Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math]. Спасибо, но ничего не понятно ))) |
||
Вернуться к началу | ||
afraumar |
|
|
Hagrael писал(а): Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math]. Так вот, при [math]b=1[/math]: [math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math] Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math]. При [math]b=2[/math]: [math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math] Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math]. И так далее до [math]b=6[/math]. Спасибо. Все понятно, но я застряла на варианте, который написала в задании, потому что не понимаю ,почему мы именно b представляем в виде остатков? Правильно ли по сути то выражение, которое я написала изначально? Если у нас некое число А делится без остатка на 6, то оно равно 6 * k, где k некое число при умножении на которое 6 получится исходное число А, верно? |
||
Вернуться к началу | ||
i-sm |
|
|
В виде остатков можно представить любое из чисел a или b. (Пусть будет b) Тогда второе число может быть любым. Попробуйте для примера задумать любое число a. Какими будут числа a+1, a-1? Обратите внимание, что какое бы a Вы ни задумали, среди чисел a-1, a, a+1 обязательно будет четное (хотя бы одно) и обязательно будет кратное трем (нетрудно доказать). Значит, если их перемножить, то произведение обязательно будет делиться на 6.
Про 6k все правильно. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа
в форуме Алгебра |
24 |
979 |
04 май 2018, 12:05 |
|
Целые числа
в форуме Алгебра |
0 |
267 |
10 янв 2016, 15:52 |
|
Найдите все целые числа
в форуме Алгебра |
6 |
439 |
10 окт 2016, 16:13 |
|
Натуральные и целые числа
в форуме Алгебра |
15 |
566 |
27 янв 2018, 23:57 |
|
Существуют ли целые числа
в форуме Алгебра |
12 |
605 |
01 мар 2018, 15:27 |
|
Найти p+q+r, где p,q, r - целые числа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
9 |
313 |
07 фев 2022, 07:38 |
|
Найти целые числа, удовлетворяющие неравенству
в форуме Алгебра |
2 |
718 |
06 дек 2014, 10:11 |
|
Можно ли так разбить целые числа от 0 до 2021 на пары? | 10 |
582 |
19 фев 2021, 01:45 |
|
Деление двузначного числа на двузначное в уме
в форуме Алгебра |
2 |
217 |
28 авг 2020, 03:56 |
|
Некоторые задачи из темы "Натуральные и целые числа"
в форуме Алгебра |
3 |
257 |
24 янв 2019, 22:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 40 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |