Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 11:29 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Пожалуйста, подскажите алгоритм решения задания.
Докажите, что при любых целых a и b значение дроби [math]\frac{ ab(a^{2}-b^{2})}{6 }[/math]является целым числом.

Если я правильно понимаю, что получается, что [math]ab(a^{2}-b^{2}) = 6k[/math] , то есть делится на 6 без остатка. Но как действовать дальше?

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 12:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Примените метод мат. индукции.

При [math]b=1[/math] имеем [math]a(a+1)(a-1)[/math] и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 12:51 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math].

Так вот, при [math]b=1[/math]:
[math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math]
Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math].

При [math]b=2[/math]:
[math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math]
Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math].

И так далее до [math]b=6[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Hagrael "Спасибо" сказали:
afraumar
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 21:11 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно добавит пару технических замечаний:
[math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36.
Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 21:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]ab\left({a^2 - b^2}\right) = ab\left({\left({a^2 - 1}\right) - \left({b^2 - 1}\right)}\right) = ab\left({a^2 - 1}\right) - ab\left({b^2 - 1}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
andrei, Hagrael, i-sm
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 07 авг 2013, 19:01 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sonic писал(а):
Можно добавит пару технических замечаний:
[math]f(a,b)[/math] делится на 6 [math]\Leftrightarrow \ f(a,b)[/math] делится на 2 и 3. Последние свойства проверяем независимо. В случае перебора всех остатков это упрощает дело: вместо [math]6^2=36[/math] значений нам достаточно проверить только [math]2^2+3^2=13[/math] значений, что меньше 36.
Кроме того, можно заметить, что многочлен [math]f(a,b)[/math] однородный, и тогда тождество [math]f(a,b)\equiv 0\pmod p[/math] равносильно тождествам [math]f(a,0)\equiv 0\pmod p[/math] и [math]f(t,1)=f(ab^{-1},1)\equiv p[/math]. В результате число проверок сокращается с [math]p^2[/math] до [math]p+p=2p[/math].

Спасибо, но ничего не понятно )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 07 авг 2013, 19:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hagrael писал(а):
Я применил здесь метод, о котором в этой теме рассказал Sonic. Метод заключается в том, что мы доказываем, что [math]ab(a^2-b^2)[/math] делится на [math]6[/math] при [math]b = 1, 2, 3, 4, 5, 6[/math], а из этого будет следовать, что это выражение будет делиться на [math]6[/math] при любом [math]b[/math].

Так вот, при [math]b=1[/math]:
[math]ab(a^2-b^2)=ab(a+b)(a-b)=(a-1)a(a+1)[/math]
Хотя бы одно из этих чисел четное и хотя бы одно делится на [math]3[/math], так что выражение делится на [math]6[/math].

При [math]b=2[/math]:
[math]ab(a+b)(a-b)=2a(a+2)(a-2)[/math]
Это выражение делится на [math]2[/math], и по крайней мере одно из чисел [math]a[math], [math]a-2[/math] и [math]a+2[/math] делится на [math]3[/math], так что это выражение опять-таки делится на [math]6[/math].

И так далее до [math]b=6[/math].


Спасибо. Все понятно, но я застряла на варианте, который написала в задании, потому что не понимаю ,почему мы именно b представляем в виде остатков? Правильно ли по сути то выражение, которое я написала изначально? Если у нас некое число А делится без остатка на 6, то оно равно 6 * k, где k некое число при умножении на которое 6 получится исходное число А, верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать - деление и целые числа
СообщениеДобавлено: 07 авг 2013, 22:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 июл 2013, 17:58
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
29 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В виде остатков можно представить любое из чисел a или b. (Пусть будет b) Тогда второе число может быть любым. Попробуйте для примера задумать любое число a. Какими будут числа a+1, a-1? Обратите внимание, что какое бы a Вы ни задумали, среди чисел a-1, a, a+1 обязательно будет четное (хотя бы одно) и обязательно будет кратное трем (нетрудно доказать). Значит, если их перемножить, то произведение обязательно будет делиться на 6.
Про 6k все правильно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что корни прив. кв. ур-ия целые числа

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

24

979

04 май 2018, 12:05

Целые числа

в форуме Алгебра

Iskadmx

0

267

10 янв 2016, 15:52

Найдите все целые числа

в форуме Алгебра

chelnikov

6

439

10 окт 2016, 16:13

Натуральные и целые числа

в форуме Алгебра

Ildar32

15

566

27 янв 2018, 23:57

Существуют ли целые числа

в форуме Алгебра

shifo

12

605

01 мар 2018, 15:27

Найти p+q+r, где p,q, r - целые числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Oks31

9

313

07 фев 2022, 07:38

Найти целые числа, удовлетворяющие неравенству

в форуме Алгебра

FoReVer_17

2

718

06 дек 2014, 10:11

Можно ли так разбить целые числа от 0 до 2021 на пары?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

10

582

19 фев 2021, 01:45

Деление двузначного числа на двузначное в уме

в форуме Алгебра

Alex236

2

217

28 авг 2020, 03:56

Некоторые задачи из темы "Натуральные и целые числа"

в форуме Алгебра

RomanMey

3

257

24 янв 2019, 22:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved