Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

В очередной раз решение логарифмичекого неравенства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=25632
Страница 1 из 1

Автор:  Sissynus [ 25 июн 2013, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

Привет,

появляется такое неравенство как часть решения большей системы:

[math]\log_{4x-6}(3x+1) < 0.[/math]

Я рассуждаю так и довольно стандартно: есть два возможных вида логарифмической функции: с основанием в [math](0; 1)[/math] и больше единицы. Поэтому решение распадается на две части, которые мы объединяем и проверяем, чтобы результат лежал в ОДЗ:

[math]4x-6>1\iff0<3x+1<1[/math], следовательно [math]-1|3<x<0[/math];

[math]0<4x-6<1\iff3x+1>1[/math] , следовательно [math]x>0[/math] .

ОДЗ:

[math]\left\{\begin{array}{ccc}3x+1 & > & 0\\ 4x-6 & > & 0\\ 4x-6 & \neq & 1 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & > & -1|3\\ x & > & 6|4\\ x & \neq & 7|4 \end{array}\right.[/math]

Объединяя все, получаем [math]x\in(6|4;7|4)\cup(7|4;\infty)[/math]. Однако данный ответ не подходит. Как следует решать? Спасибо.

Автор:  SzaryWilk [ 25 июн 2013, 19:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

Привет!
Начнем с области определения:
[math]4x-6>0, \quad 4x-6\neq 1, \quad 3x+1>0 \iff x>\frac{3}{2}, \quad x\neq \frac{7}{4}[/math]

По формуле
[math]\log_Sx=\frac{\log_Nx}{\log_NS}[/math]


получаем

[math]\frac{\ln(3x+1)}{\ln(4x-6)}<0[/math]
Сразу видно, что [math]x< \frac{7}{4}[/math], но мы решим это неравенство:


([math]\ln(3x+1)<0[/math] и [math]\ln(4x-6)>0[/math]) или ([math]\ln(3x+1)>0[/math] и [math]\ln(4x-6)<0[/math])

([math]3x+1<1[/math] и [math]4x-6>1[/math]) или ([math]3x+1>1[/math] и [math]4x-6<1[/math])

Ответ: [math](\frac{3}{2},\frac{7}{4})[/math]

Автор:  Sissynus [ 25 июн 2013, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

Ага! Разобрался, спасибо! В моем решении не принимается во внимание условие [math]4x-6<1[/math], когда рассматривается случай [math]3x+1>1[/math] - в этом и ошибка.

А случай

[math]\left\{\begin{array}{ccc}\ln(3x+1) & < & 0\\ \ln(4x-6) & > & 0 \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{ccc}x & < & 0\\ x & > & \frac{7}{4}\end{array}\right.[/math]

мы исключаем, потому что множество disjoint (и вообще не обращаем на него внимания в итоге)?

Автор:  Sissynus [ 25 июн 2013, 20:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

А, еще вопрос сразу - нет ли хорошего задачника на такого рода алгебраические precalculus фокусы?

Автор:  locked [ 25 июн 2013, 21:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

Предлагаю вариант решения методом рацоинализации + вкладываю файл с полезными равносильными переходами для уравнений и (особенно) неравенств [метод рационализации там тоже есть], вдруг кому пригодится :)

Вложения:
Комментарий к файлу: равносильные переходы
(мал).docx [55.78 Кб]
Скачиваний: 49
Комментарий к файлу: решение
.docx [22.05 Кб]
Скачиваний: 43

Автор:  Sissynus [ 26 июн 2013, 12:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

locked, SzaryWilk спасибки.

Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf

Автор:  locked [ 26 июн 2013, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: В очередной раз решение логарифмичекого неравенства

Sissynus писал(а):
locked, SzaryWilk спасибки.

Нашел еще отличного качества методические материалы по математике: http://mathus.ru/math/index.php , например с разбором задач и C3 как раз: http://mathus.ru/math/egec3.pdf

хороший сайт, помог мне при подготовке к ЕГЭ

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/