Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| afraumar |
|
|
|
Пожалуйста, объясните принцип решения подобных задач: Докажите, что при любом [math]n \in N[/math]: число [math]3^{4n}+4[/math] делится на 5. Действительно, если вместо n подставить любые значения, то равенство получается. Но как доказать без использования подставления чисел? Например, я попробовала [math]81^{n}+4[/math], то есть возвела 3 в 4ую степень, и что дальше? |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
[math]81^{n}+4=(80+1)^{n}+4[/math]
То есть в любом случае [math](80+1)^{n}[/math] при делении на [math]5[/math] будет давать в остатке [math]1[/math].А [math]1+4=5[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Sviatoslav, Uncle Fedor |
||
| Uncle Fedor |
|
|
|
Существует, по крайней мере, три способа решения данной задачи:
1) Преобразование данного выражения и использование свойств делимости целых чисел. 2) С помощью метода математической индукции. 3) С помощью теории сравнений. Рассмотрим решение данной задачи первым способом. В процессе решения нам пригодится формула [math]{x^n}-{a^n}= \left({x - a}\right)\left({{x^{n - 1}}+{x^{n - 2}}a + ... + x{a^{n - 2}}+{a^{n - 1}}}\right)[/math], где [math]n \in N[/math], [math]n \ge 2[/math]. Рассмотрим два возможных случая: I. Если [math]n = 1[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={3^4}+ 4 = 81 + 4 = 85 \vdots 5[/math]. II. Если [math]n \in N[/math] и [math]n \ge 2[/math], то [math]{3^{4n}}+ 4 ={\left({{3^4}}\right)^n}- 1 + 1 + 4 ={81^n}- 1 + 5 = \left({81 - 1}\right)\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 = 80\left({{{81}^{n - 1}}+ ... + 1}\right) + 5 \vdots 5[/math]. Таким образом, при любом натуральном значении [math]n[/math] выражение [math]{3^{4n}}+ 4[/math] нацело делится на [math]5[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: mad_math, Sviatoslav |
||
| andrei |
|
|
|
Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма.
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Uncle Fedor |
|
|
|
andrei писал(а): Дык я ориетировался на школьную математику,а то тут вообще можно было применить малую теорему Ферма. ![]() В приведенном мной способе решения нет чего-либо выходящего за рамки школьной программы по математике. А как объяснить, почему при любом натуральном [math]n[/math] число [math]{3^{4n}}[/math] при делении на [math]5[/math] даёт в остатке [math]1[/math]? В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается. |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Uncle Fedor писал(а): В общеобразовательных классах формула бинома Ньютона не изучается. Странно,я в свое время изучал. |
||
| Вернуться к началу | ||
| afraumar |
|
|
|
спасибо огромное! формула бинома Ньютона изучается, я сейчас по учебнику для технических классов занимаюсь - правда, 8 класс и пока еще этого не было. постараюсь разобраться! спасибо еще раз!
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Доказать делимость выражения
в форуме Алгебра |
5 |
482 |
19 ноя 2016, 03:18 |
|
|
Доказать делимость выражения
в форуме Теория чисел |
2 |
485 |
14 окт 2016, 16:17 |
|
|
Делимость выражения
в форуме Алгебра |
16 |
749 |
25 мар 2018, 22:31 |
|
|
Определить делимость выражения
в форуме Алгебра |
12 |
569 |
15 ноя 2016, 22:35 |
|
|
Определить делимость выражения
в форуме Алгебра |
3 |
510 |
10 ноя 2016, 23:14 |
|
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
1 |
544 |
14 янв 2018, 19:27 |
|
|
Доказать делимость
в форуме Алгебра |
1 |
136 |
27 сен 2021, 21:18 |
|
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
5 |
668 |
11 июн 2017, 20:05 |
|
|
Доказать делимость
в форуме Теория чисел |
5 |
522 |
06 сен 2015, 23:36 |
|
|
Доказать делимость
в форуме Алгебра |
2 |
582 |
26 ноя 2015, 20:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |