Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задание про набор чисел
СообщениеДобавлено: 06 июн 2013, 20:46 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задание из С6 ЕГЭ этого года, вроди тут его еще не было.
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске остается только одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1,3,3,4, то на доске будет записан набор 1,3,4,5,6,7,8,10,11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2,4,6,8.
б) Существует ли пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9,10,11,19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52.
г) Для некоторых задуманных чисел на доске выписали набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) Методом подбора 2,2,4. Вообще, ясно, что первые числа, записанные на доске совпадают с числами задуманными, только неизвестно, какое количество первых чисел нужно взять и какие из них будут повторяться.
б) Нет. Если набор на доске составлен из трех различных чисел (с учетом, что числа могут повторяться), то это числа 1,3,4 и сколько бы раз какие-то из них не повторялись, обязательно будет сумма 3+4, которая равна 7, а в числах на доске 7 нет. Если задумано было меньше трех различных чисел (опять с учетом повторов), то это только 1 и 3. Теперь я не знаю, как верно доказать, что в этом случае аналогично набор чисел на доске не получится. По сути, обязательно должна быть или одна тройка и четыре единицы, или две тройки и две единицы (этого не достаточно, но это обязательно), а эти комбинации тоже дают 7, которой в наборе на доске нет.
в) Методом подбора 9,10,11,11,11. Можно ли вообще находить эти числа не подбором, а другим путем? И как найти еще возможные варианты или доказать их отсутсвие. Я думал, нужно опираться на то, что 52 - это сумма всех задуманных чисел, и посмотреть, какие из первых чисел (9,10,11,19) с учетом повтором в сумме могут давать 52, но как это сделать, не знаю
г) полагаю, нет, но как это доказать, даже идей нет

Помогите пожалуйста разобраться с этим заданием.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание про набор чисел
СообщениеДобавлено: 06 июн 2013, 23:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
в)Предполагаю что другой набор [math]9,10,11,22[/math] так как [math]19=9+10[/math],[math]20=9+11[/math] и [math]21=10+11[/math]
г)Если мое предположение верно,то это и есть доказательство того,что по заданному набору нельзя определить начальный набор чисел,так как два набора дают в итоге одинаковую последовательность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Задание про набор чисел
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 10:55 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваш набор тоже подходит. Но как доказать, что других вариантов быть не может?
И пункт г), вообще, взят немного из другого задания, в котором пункт в) отсутствует. Самому придумать такую последовательность сложно и практически невозможно, как мне кажется.
Конечно, все эти задания можно решить на уровне обычной логики, но есть ли тут математический подход?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание про набор чисел
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 13:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конкретно по заданию в).Наименьшее число в полученной последовательности [math]9[/math],Следовательно количество чисел в исходной последовательности не более чем [math]\frac{ 52 }{ 9 }[/math],то есть не более чем [math]5[/math].С другой стороны во вторичной последовательности [math]15<2^{4}[/math] чисел,значит в первичной последовательности не менее чем [math]4[/math]числа.Следователь,в первичной последовательности количество чисел может быть или [math]4[/math] или [math]5[/math].
И вообще-если имеется начальная последовательность [math]a_{1},a_{2},...,a_{m}[/math] и из нее образована вторичная последовательность [math]b_{1},b_{2},...,b_{n}[/math] то [math]\log_{2}{(n+1)} \leqslant m \leqslant \left[ \frac{ b_{n} }{ a_{m} } \right][/math]
Возникает интересный вопрос-существует ли такая первичная последовательность [math]a_{1},a_{2},...,a_{m}[/math] которая выдает вторичную последовательность [math]b_{1},b_{2},...,b_{n}[/math] что [math]m=\log_{2}{(n+1)}[/math] этот вопрос легко решается

Так как во вторичной последовательности два первых числа взаимно просты,то они входят в первичную последовательность.Рассмотрим вопрос с третьим числом- с [math]11[/math].Его нельзя представить в виде линейной комбинации вида [math]11=9a+10b[/math] где [math]a[/math] и [math]b[/math] только натуральные числа.Следовательно число [math]11[/math] входит в начальную последовательность.
Может ли в начальной последовательности быть четыре числа?Производя простые действия [math]52-9-10-11=22[/math],найдем,что четвертое число,возможно [math]22[/math].Проверка показывает,что это так и есть.
Может ли в начальной последовательности быть пять чисел?Как мы видели сумма двух оставшихся чисел равна [math]22[/math] и эти числа должны быть не менее [math]11[/math].Следовательно находим,что эти числа равны [math]11[/math].И начальная последовательность может быть равна [math]9,10,11,11,11[/math].Проверка показывает что это тоже так и есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Задание про набор чисел
СообщениеДобавлено: 07 июн 2013, 20:57 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei, спасибо большое за помощь! Только не могли бы Вы уточнить, как получается [math]{\log _2}(n + 1)[/math]? То есть [math]n \leqslant{2^m}- 1[/math], но почему именно так? Это элемент комбинаторики?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задание на нахождение натуральных чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Elephant

10

1117

15 ноя 2014, 11:19

I-набор, неясности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

hirohito

2

213

01 авг 2019, 00:51

Набор кривых

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Scareccrow

0

538

27 сен 2015, 16:46

2-ВЫП с ограничением на выполняющий набор

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

polyfactorial

0

245

08 апр 2016, 21:31

Расшифровка и набор рукописей по математике

в форуме Объявления участников Форума

DDP

0

289

16 мар 2018, 13:28

Может ли при некоторых A, B, C и D выполняться набор условий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vitalik222

1

336

04 ноя 2018, 14:50

Минимальный набор элементов (правил) математики

в форуме Размышления по поводу и без

Dubidu

12

1010

23 фев 2018, 00:41

Выберите набор из макс. кол-ва линейно независимых векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

forzi

23

1162

13 июн 2018, 08:52

Выбор разных чисел из общего массива чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RomanMatax

0

343

12 янв 2019, 01:36

размещение К чисел при трёхзначной сумме этих чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vanvita

0

277

01 ноя 2018, 13:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 37


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved