Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Lotesse |
|
|
|
[math]3x^2+y^2-2xy+8x+4y+22\geqslant 0[/math] Заранее благодарю) |
||
| Вернуться к началу | ||
| Uncle Fedor |
|
|
|
Рассмотрите данное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и найдите его дискриминант. У вас получится, что старший коэффициент квадратного трёхчлена положительный, а дискриминант не положительный. Следовательно, данный квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные значения.
Также можно воспользоваться формулой (метод выделения полного квадрата): [math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math], где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] . |
||
| Вернуться к началу | ||
| MihailM |
|
|
|
выделяем полные квадраты, это хорошая задача как не выделяй все все равно придешь куда надо.
Начинаем [math](y-x)^2[/math] понятно что еще надо 4y туда засунуть (8x должно убиться [math]2x^2[/math]-ом) получаем [math](y-x+2)^2[/math], дальше очевидно |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
В подобных задачах часто в первую очередь избавляются от произведения неизвестных. То есть нужно выделить полный квадрат по [math]x[/math] и [math]y[/math] и сделать замену [math]\begin{cases}x=u,\\ x-y=v\end{cases}[/math]
[math]\begin{gathered}3{x^2}+{y^2}- 2xy + 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{x^2}- 2xy +{y^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{(x - y)^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ x - y = v; \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ y = u - v. \hfill \\ \end{gathered}\right. \\ 2{u^2}+{v^2}+ 8u + 4(u - v) + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{u^2}+{v^2}+ 12u - 4v + 22 \\ \Updownarrow \\ 2({u^2}+ 6u + 9) +{v^2}- 4v + 4 \\ \Updownarrow \\ 2{(u + 3)^2}+{(v - 2)^2}\\ \Updownarrow \\ 2{(x + 3)^2}+{(x - y - 2)^2}\\ \end{gathered}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Analitik, mad_math, Uncle Fedor |
||
| Uncle Fedor |
|
|
|
Преобразуем левую часть данного неравенства:
[math]3{x^2} + {y^2} - 2xy + 8x + 4y + 22 = {y^2} + \left( {4y - 2xy} \right) + 3{x^2} + 8x + 22 = \underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c[/math]. Рассмотрим полученное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и выделим из него полный квадрат, пользуясь формулой [math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math] , где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] - дискриминант квадратного трёхчлена. [math]D = {\left( {4 - 2x} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3{x^2} + 8x + 22} \right) = 16 - 16x + 4{x^2} - 12{x^2} - 32x - 88 = - 8{x^2} - 48x - 72 = - 8\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = - 8{\left( {x + 3} \right)^2}[/math] Следовательно, [math]\underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c = a \cdot {\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}} = 1 \cdot {\left( {y + \frac{{4 - 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{8{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{4} =[/math] [math]= 1 \cdot {\left( {y + \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{2}} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y + 2 - x} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y - x + 2} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Uncle Fedor писал(а): [math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math] Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Uncle Fedor |
|
|
|
Alexdemath писал(а): Uncle Fedor писал(а): [math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math] Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math]. Нет никакой опечатки, у нас с Вами получились одинаковые выражения. [math]{\left( {y - x + 2} \right)^2} = {\left( { - 1 \cdot \left( {x - y - 2} \right)} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {\left( {x - y - 2} \right)^2} = {\left( {x - y - 2} \right)^2}[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Uncle Fedor
Ой, действительно одно и тоже. Я что-то перепутал в вашем выражении [math]x[/math] и [math]y[/math] ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 8 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
6 |
304 |
28 сен 2023, 20:42 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
15 |
3221 |
13 июл 2015, 16:00 |
|
|
Как доказать неравенство?
в форуме Алгебра |
4 |
739 |
07 июл 2015, 23:19 |
|
|
Доказать Неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
509 |
23 фев 2016, 11:44 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
352 |
26 сен 2017, 17:48 |
|
| Доказать неравенство | 6 |
586 |
17 янв 2017, 07:30 |
|
|
Как доказать неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
310 |
28 окт 2015, 19:53 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
11 |
914 |
09 мар 2016, 00:14 |
|
|
Доказать неравенство
в форуме Теория вероятностей |
1 |
252 |
08 июл 2020, 12:07 |
|
|
Как доказать неравенство?
в форуме Тригонометрия |
14 |
924 |
23 янв 2016, 09:23 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |