Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 26 мар 2013, 21:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 мар 2013, 21:55
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Боремся с этой задачей всей семьей,уже 2-ой день. Я в 8-ом классе, и решение через производные, графики и т.д. не пойдут))

[math]3x^2+y^2-2xy+8x+4y+22\geqslant 0[/math]

Заранее благодарю)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 26 мар 2013, 22:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрите данное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и найдите его дискриминант. У вас получится, что старший коэффициент квадратного трёхчлена положительный, а дискриминант не положительный. Следовательно, данный квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные значения.

Также можно воспользоваться формулой (метод выделения полного квадрата):

[math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math], где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 26 мар 2013, 23:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
выделяем полные квадраты, это хорошая задача как не выделяй все все равно придешь куда надо.
Начинаем [math](y-x)^2[/math]
понятно что еще надо 4y туда засунуть (8x должно убиться [math]2x^2[/math]-ом)
получаем [math](y-x+2)^2[/math], дальше очевидно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 01:17 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В подобных задачах часто в первую очередь избавляются от произведения неизвестных. То есть нужно выделить полный квадрат по [math]x[/math] и [math]y[/math] и сделать замену [math]\begin{cases}x=u,\\ x-y=v\end{cases}[/math]

[math]\begin{gathered}3{x^2}+{y^2}- 2xy + 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{x^2}- 2xy +{y^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{x^2}+{(x - y)^2}+ 8x + 4y + 22 \\ \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ x - y = v; \hfill \\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}x = u, \hfill \\ y = u - v. \hfill \\ \end{gathered}\right. \\ 2{u^2}+{v^2}+ 8u + 4(u - v) + 22 \\ \Updownarrow \\ 2{u^2}+{v^2}+ 12u - 4v + 22 \\ \Updownarrow \\ 2({u^2}+ 6u + 9) +{v^2}- 4v + 4 \\ \Updownarrow \\ 2{(u + 3)^2}+{(v - 2)^2}\\ \Updownarrow \\ 2{(x + 3)^2}+{(x - y - 2)^2}\\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Analitik, mad_math, Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 07:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Преобразуем левую часть данного неравенства:

[math]3{x^2} + {y^2} - 2xy + 8x + 4y + 22 = {y^2} + \left( {4y - 2xy} \right) + 3{x^2} + 8x + 22 = \underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c[/math].
Рассмотрим полученное выражение как квадратный трёхчлен относительно переменной [math]y[/math] и выделим из него полный квадрат, пользуясь формулой

[math]a{y^2} + by + c = a{\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}}[/math] , где [math]D = {b^2} - 4ac[/math] - дискриминант квадратного трёхчлена.
[math]D = {\left( {4 - 2x} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3{x^2} + 8x + 22} \right) = 16 - 16x + 4{x^2} - 12{x^2} - 32x - 88 = - 8{x^2} - 48x - 72 = - 8\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = - 8{\left( {x + 3} \right)^2}[/math]
Следовательно, [math]\underbrace 1_a \cdot {y^2} + \underbrace {\left( {4 - 2x} \right)}_by + \underbrace {\left( {3{x^2} + 8x + 22} \right)}_c = a \cdot {\left( {y + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{D}{{4a}} = 1 \cdot {\left( {y + \frac{{4 - 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{8{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{4} =[/math]
[math]= 1 \cdot {\left( {y + \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{2}} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y + 2 - x} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} = {\left( {y - x + 2} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 12:03 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Uncle Fedor писал(а):
[math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math]

Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 12:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Uncle Fedor писал(а):
[math](y - x + 2)^2 + 2(x + 3)^2\ge 0[/math]

Вроде опечатка в [math](y - x + 2)^2[/math].

Нет никакой опечатки, у нас с Вами получились одинаковые выражения.

[math]{\left( {y - x + 2} \right)^2} = {\left( { - 1 \cdot \left( {x - y - 2} \right)} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {\left( {x - y - 2} \right)^2} = {\left( {x - y - 2} \right)^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать что неравенство верно
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 13:17 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Uncle Fedor

Ой, действительно одно и тоже.

Я что-то перепутал в вашем выражении [math]x[/math] и [math]y[/math] :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать неравенство

в форуме Алгебра

djcooki

6

304

28 сен 2023, 20:42

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Gagarin

15

3221

13 июл 2015, 16:00

Как доказать неравенство?

в форуме Алгебра

Vantovymost

4

739

07 июл 2015, 23:19

Доказать Неравенство

в форуме Алгебра

kosov

3

509

23 фев 2016, 11:44

Доказать неравенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Jugalator

3

352

26 сен 2017, 17:48

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

freedurex

6

586

17 янв 2017, 07:30

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

310

28 окт 2015, 19:53

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Gagarin

11

914

09 мар 2016, 00:14

Доказать неравенство

в форуме Теория вероятностей

BabyRooJr

1

252

08 июл 2020, 12:07

Как доказать неравенство?

в форуме Тригонометрия

sfanter

14

924

23 янв 2016, 09:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved