Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Разложение на множители
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=21847
Страница 1 из 1

Автор:  qweqwe12 [ 30 янв 2013, 23:32 ]
Заголовок сообщения:  Разложение на множители

Здравствуйте!

Есть уравнение:
[math]x^4+x^3-18x^2+x+1=0[/math]
После разложения на множители должно получиться:
[math](x^2-4x+1)(x^2+5x+1)=0[/math]

Объясните пожалуйста, каким образом здесь выполнено разложение? И почему именно таким способом и как понять каким способом лучше это делать?

Автор:  pewpimkin [ 31 янв 2013, 00:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Поделите все на x^2. Затем сгруппируйте x^2+1/x^2 и x+1/x и сделайте замену х+1/х=t

Автор:  pewpimkin [ 31 янв 2013, 00:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

X^2+1/x^2=t^2-2
Получится t^2+t-20=0 находите t и делаете обратную замену
T1=-5 t2=4
X+1/х=-5 и х+1/x=4 отсюда и получаися те Ваши скобки

Автор:  pewpimkin [ 31 янв 2013, 00:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Это возвратное уравнение ( когда коэффициенты относительно центра симметричны Решаются именно этим способом

Автор:  qweqwe12 [ 31 янв 2013, 00:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

[math]X^2+1[/math]/[math]x^2[/math]=[math]t^2-2[/math]
А можно подробнее про этот шаг? Откуда [math]t^2-2[/math] ?

Автор:  pewpimkin [ 31 янв 2013, 00:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Возведите в квадрат х+1/х

Автор:  Avgust [ 31 янв 2013, 00:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Я создал прогу, по которой можно любые полиномы четвертой степени так разложить (не по методу Феррари) http://renuar911.blog.ru/162330915.html . Но иногда применяют логические подходы. Например, если искать решение в виде

[math](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/math] ,

это раскрыть и сопоставить с Вашим полиномом, то легко получить систему (см. по той же ссылке):

[math]a+c=1[/math]

[math]ac+b+d=-18[/math]

[math]ad+cb=1[/math]

[math]bd=1[/math]

Будем предполагать, что решение несложное и целочисленное (обычно студентам такие примеры и дают). Тогда, если посмотреть на последнее соотношение, логично предположить, что либо [math]b=1 \,; \quad d=1[/math] , либо [math]b=-1 \,; \quad d=-1[/math]. Предположим, что положительные значения. Тогда третье соотношение примет вид:

[math]a+c=1[/math]

Это полностью совпадает с первым соотношением. Уже хорошо! И у нас тогда остается элементарная система:

[math]ac+2=-18[/math]
[math]a+c=1[/math]

Приводя к квадратному уравнению, получим один из корней: [math]a=5[/math]
Тогда [math]c=1-5=-4[/math]

Все коэффициенты получены и они такие же, как у Вас.

Автор:  pewpimkin [ 31 янв 2013, 00:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Вы поняли, откуда взялось t^2-2?

Автор:  qweqwe12 [ 31 янв 2013, 00:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложение на множители

Да, понял. Спасибо!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/