| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=21569 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | morrigan [ 19 янв 2013, 15:37 ] |
| Заголовок сообщения: | ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах |
1. Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых равна их удвоенному произведению. ОТВЕТ:(1,1). 2.Решите в натуральных числах уравнение [math]x!-2=y^{2}[/math] ОТВЕТ:(3,2). 3.Решите в целых числах уравнение [math]2^{x}+7=y^{2}[/math] ОТВЕТ: (1,2),(1,[math]\pm 3[/math]) 4.Решите в целых числах уравнение [math]y^{4}=x^{2}+x[/math] ОТВЕТ: (-1,0),(0,0) |
|
| Автор: | andrei [ 19 янв 2013, 18:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах |
1)[math]x+y=2xy \Rightarrow (2x-1)(2y-1)=1 \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned} & 2x-1=1 \\ & 2y-1=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned} & x=1 \\ & y=1 \end{aligned}\right.[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 19 янв 2013, 18:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах |
2)Так как при [math]x \geqslant 5[/math] факториал натурального числа оканчивается нулем,а квадрат не может оканчиваться на 8,то остается проверить [math]x=1,2,3,4[/math] Непосредственная проверка показывает,что равенство верно при [math]x=3[/math] и [math]y=2[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 19 янв 2013, 19:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах |
4)[math]y^{4}=x^{2}+x \Rightarrow 4y^{4}+1=(2x+1)^{2} \Rightarrow (2x+1+2y^{2})(2x+1-2y^{2})=1[/math]. Остальное совсем просто. |
|
| Автор: | andrei [ 19 янв 2013, 19:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах |
3)[math]2^{x}+7=y^{2} \Rightarrow 2(2^{x-1}-1)=(y+3)(y-3)[/math] Откуда видно,что левая часть уравнения делится только на 2,а правая часть уравнения должна делиться на 4.Единственный вариант,когда такое возможно,это [math]2(2^{x-1}-1)=(y+3)(y-3)=0[/math]. Откуда [math]x=1 \quad y= \pm 3[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|