Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=21569
Страница 1 из 1

Автор:  morrigan [ 19 янв 2013, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах

1. Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых равна их удвоенному произведению.
ОТВЕТ:(1,1).
2.Решите в натуральных числах уравнение [math]x!-2=y^{2}[/math]
ОТВЕТ:(3,2).
3.Решите в целых числах уравнение [math]2^{x}+7=y^{2}[/math]
ОТВЕТ: (1,2),(1,[math]\pm 3[/math])
4.Решите в целых числах уравнение [math]y^{4}=x^{2}+x[/math]
ОТВЕТ: (-1,0),(0,0)

Автор:  andrei [ 19 янв 2013, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах

1)[math]x+y=2xy \Rightarrow (2x-1)(2y-1)=1 \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}
& 2x-1=1 \\
& 2y-1=1
\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1
\end{aligned}\right.[/math]

Автор:  andrei [ 19 янв 2013, 18:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах

2)Так как при [math]x \geqslant 5[/math] факториал натурального числа оканчивается нулем,а квадрат не может оканчиваться на 8,то остается проверить [math]x=1,2,3,4[/math] Непосредственная проверка показывает,что равенство верно при [math]x=3[/math] и [math]y=2[/math]

Автор:  andrei [ 19 янв 2013, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах

4)[math]y^{4}=x^{2}+x \Rightarrow 4y^{4}+1=(2x+1)^{2} \Rightarrow (2x+1+2y^{2})(2x+1-2y^{2})=1[/math]. Остальное совсем просто.

Автор:  andrei [ 19 янв 2013, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЕГЭ 2013. Задачи С6. Уравнения в целых числах

3)[math]2^{x}+7=y^{2} \Rightarrow 2(2^{x-1}-1)=(y+3)(y-3)[/math] Откуда видно,что левая часть уравнения делится только на 2,а правая часть уравнения должна делиться на 4.Единственный вариант,когда такое возможно,это [math]2(2^{x-1}-1)=(y+3)(y-3)=0[/math]. Откуда [math]x=1 \quad y= \pm 3[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/