Задача с олимпиады. Не решил

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.


Пытался раскладывать по разному выражение [math]x^3+y^3=x-y[/math] , но ничего не вышло. Посоветуйте, как решить.

Вы, наверное, забыли написать, что это положительные числа??!

Нет, в условии ограничения на знаки не было.

KuchaTrupoff

Без этого условия [math]x,y>0[/math] утверждение, что [math]x^2+y^2<1[/math] при [math]x^3+y^3=x-y[/math] неверно.

Если есть возможность, то уточните условие задачи.

Вроде верное утверждение.

Выполним замену: [math]x=u+v,~y=u–v[/math]. Тогда получим уравнение [math]3uv^2-v+u^3=0[/math]

Отметим, что при [math]u=0[/math] переменная [math]v=0[/math]. Поэтому, решая уравнение относительно v, выбираем тот корень, который обращается в ноль при u=0.

[math]v=\frac{1-\sqrt{1-12u^4}}{6u}=\frac{2u^3}{1+\sqrt{1-12u^4}}[/math]

Далее [math]x^2+y^2=2(u^2+v^2)= 2u^2\!\left(1+\frac{4u^4}{(1+\sqrt{1-12u^4})^2}\right)[/math]

Правая часть – возрастающая функция на промежутке [math][0;12^{-1/4}][/math]

Максимум этого выражения равен [math]\frac{8}{3\sqrt{12}}<1[/math]

Видимо, есть более простое рассуждение, т.к. неравенство дано с запасом.

P.S. На счёт неравенства с запасом я написал ерунду. Где-то проврался. К сожалению, сейчас нет времени, чтобы разбираться. Ещё раз приношу извинения участникам форума.

Prokop

Например, [math]x=2[/math] и [math]y=\frac{\left(6\sqrt{183}-81\right)^{2/3}-3}{3(6\sqrt{183}-81)^{1/3}}[/math]

[math]x^3+y^3=x-y[/math]

[math]x^2+y^2<1[/math] ???!!

В условии задачи д.б. [math]x,y>0[/math] или [math]x,y<0[/math].
Или надо формулировку задачи делать более корректную.

Возможности уточнить условие сейчас нет, задание сдавалось тоже. Но вроде ограничений никаких нет.
Посмотрел, что пишете, разобрался только частично, для ученика, хоть и 11 класса, достаточно непонятные рассуждения Все равно спасибо всем тем, кто помог.
PS. Завтра попробую уточнить задание в школе.

Согласен с Alexdemath. Что-то не то.
Второй корень уравнения
[math]3uv^2 - v + u^3 = 0[/math]
тоже надо учитывать. Он равен
[math]v = \frac{1}{{3u}} - \frac{{2u^3 }}{{1 + \sqrt {1 - 12u^4 } }}[/math]
Тогда величина
[math]x^2 + y^2 = 2\left( {u^2 + v^2 } \right)[/math]
становится не ограниченной при u->0.

Это какой-то метод решения подобных уравнений, или придумано по ходу решения? Не могли бы рассказать поподробнее?

KuchaTrupoff

Вы уточнили условие задачи??