Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 10:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 ноя 2010, 19:22
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.


Пытался раскладывать по разному выражение [math]x^3+y^3=x-y[/math] , но ничего не вышло. Посоветуйте, как решить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 13:08 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
KuchaTrupoff писал(а):
Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Пытался раскладывать по разному выражение [math]x^3+y^3=x-y[/math] , но ничего не вышло. Посоветуйте, как решить.

Вы, наверное, забыли написать, что это положительные числа??!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 14:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 ноя 2010, 19:22
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, в условии ограничения на знаки не было.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 16:10 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
KuchaTrupoff

Без этого условия [math]x,y>0[/math] утверждение, что [math]x^2+y^2<1[/math] при [math]x^3+y^3=x-y[/math] неверно.

Если есть возможность, то уточните условие задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 16:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2270 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде верное утверждение.

Выполним замену: [math]x=u+v,~y=u–v[/math]. Тогда получим уравнение [math]3uv^2-v+u^3=0[/math]

Отметим, что при [math]u=0[/math] переменная [math]v=0[/math]. Поэтому, решая уравнение относительно v, выбираем тот корень, который обращается в ноль при u=0.

[math]v=\frac{1-\sqrt{1-12u^4}}{6u}=\frac{2u^3}{1+\sqrt{1-12u^4}}[/math]

Далее [math]x^2+y^2=2(u^2+v^2)= 2u^2\!\left(1+\frac{4u^4}{(1+\sqrt{1-12u^4})^2}\right)[/math]

Правая часть – возрастающая функция на промежутке [math][0;12^{-1/4}][/math]

Максимум этого выражения равен [math]\frac{8}{3\sqrt{12}}<1[/math]

Видимо, есть более простое рассуждение, т.к. неравенство дано с запасом.

P.S. На счёт неравенства с запасом я написал ерунду. Где-то проврался. К сожалению, сейчас нет времени, чтобы разбираться. Ещё раз приношу извинения участникам форума.


Последний раз редактировалось Prokop 21 ноя 2010, 16:45, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 16:38 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop

Например, [math]x=2[/math] и [math]y=\frac{\left(6\sqrt{183}-81\right)^{2/3}-3}{3(6\sqrt{183}-81)^{1/3}}[/math]

[math]x^3+y^3=x-y[/math]

[math]x^2+y^2<1[/math] ???!!

В условии задачи д.б. [math]x,y>0[/math] или [math]x,y<0[/math].
Или надо формулировку задачи делать более корректную.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 17:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 ноя 2010, 19:22
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможности уточнить условие сейчас нет, задание сдавалось тоже. Но вроде ограничений никаких нет.
Посмотрел, что пишете, разобрался только частично, для ученика, хоть и 11 класса, достаточно непонятные рассуждения :) Все равно спасибо всем тем, кто помог.
PS. Завтра попробую уточнить задание в школе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2010, 22:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2270 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Согласен с Alexdemath. Что-то не то.
Второй корень уравнения
[math]3uv^2 - v + u^3 = 0[/math]
тоже надо учитывать. Он равен
[math]v = \frac{1}{{3u}} - \frac{{2u^3 }}{{1 + \sqrt {1 - 12u^4 } }}[/math]
Тогда величина
[math]x^2 + y^2 = 2\left( {u^2 + v^2 } \right)[/math]
становится не ограниченной при u->0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2010, 18:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 ноя 2010, 19:22
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Выполним замену: [math]x=u+v,~y=u–v[/math]. Тогда получим уравнение [math]3uv^2-v+u^3=0[/math]


Это какой-то метод решения подобных уравнений, или придумано по ходу решения? Не могли бы рассказать поподробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с олимпиады. Не решил
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2010, 21:03 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Откуда: Севастополь
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3137 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
KuchaTrupoff

Вы уточнили условие задачи??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
ЗАДАЧА С ОЛИМПИАДЫ

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

ANDREY8484

1

696

24 май 2013, 18:46

Задача с олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nail1990

2

701

29 сен 2014, 21:37

Задача с олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

df777

28

1107

27 окт 2015, 19:51

Задача с олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Rawitj

2

254

09 июн 2020, 21:07

Интересная задача с Олимпиады

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

zooxie

5

639

20 окт 2016, 18:08

Задача из школьной олимпиады для 7-го класса

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Solopa

3

579

23 янв 2016, 13:18

Задача с олимпиады 1 курс университета

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

BlackBard

11

423

23 июл 2020, 10:42

Задача из олимпиады по математике (7 класс)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

stEgor

1

243

15 дек 2020, 14:20

Задача из 33 олимпиады Турнир Городов

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Horld

1

590

06 окт 2012, 18:02

Предпоследняя задача из олимпиады по математике 10 класса

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Deneuve

4

430

23 окт 2015, 15:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved