Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=20167
Страница 1 из 2

Автор:  Diabllo2009 [ 06 дек 2012, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

Помогите пожалуйста решить
Решить неравенство:
[math]\log_{2-x}{\left(\sqrt{\frac{5}{2}-x}+\frac{3}{2}\right)}\leq 1[/math]

Автор:  Human [ 08 дек 2012, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

Прежде всего, естественно, ОДЗ. Затем воспользуйтесь тем, что знак выражения [math]\log_{f(x)}g(x)-\log_{f(x)}h(x)[/math] совпадает со знаком выражения [math](f(x)-1)(g(x)-h(x))[/math].

Автор:  Diabllo2009 [ 10 дек 2012, 11:06 ]
Заголовок сообщения:  Логарифмическое неравенство

Путаюсь в процессе решения задания. Помогите с решением пожалуйста

Тот что под №2

Изображение

Автор:  Avgust [ 10 дек 2012, 11:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Я всегда такие примеры начинаю с графика. Иногда он помогает войти в курс проблемы:

Изображение

Здесь log - натуральный логарифм.

Изображение

Это был Вольфрам. Но Мапл дает более общий результат:

Изображение

Автор:  Diabllo2009 [ 10 дек 2012, 12:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

Human писал(а):
Прежде всего, естественно, ОДЗ. Затем воспользуйтесь тем, что знак выражения [math]\log_{f(x)}g(x)-\log_{f(x)}h(x)[/math] совпадает со знаком выражения [math](f(x)-1)(g(x)-h(x))[/math].

Должно получится 2 уравнения 1 и 2
ОДЗ для первого у меня получилось такое
1)
2-x > 1
-x >-1
x<1
2)[math]\frac{ 5 }{ 2 } -x \geqslant 0[/math]
[math]-x \geqslant - \frac{ 5}{ 2 }[/math]
[math]x \leqslant \frac{ 5 }{ 2 }[/math]

3)[math]\sqrt{ \frac{ 5 }{ 2 } - x} + \frac{ 3}{ 2} > 0[/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5 }{ 2 } - x} > - \frac{ 3}{ 2 }[/math]

Решение неравенства
[math]\log_{2-x}{\sqrt{\frac{5}{2}- x}+ \frac{3}{2}}\leqslant \log_{2-x}{2-x}[/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5 }{ 2 } - x}+ \frac{ 3 }{ 2 } \leqslant 2-x[/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5 }{ 2 } - x} \leqslant 2-x - \frac{ 3 }{ 2 }[/math]
[math]\sqrt{ \frac{ 5 }{ 2 } } \leqslant \frac{ 1 }{ 2 } - x[/math]
[math]\frac{ 5 }{ 2 } - x \leqslant \frac{ 1}{ 4 } + x^{2} - x[/math]
[math]\frac{ 9}{ 4 } \leqslant x^{2}[/math]
[math]x \geqslant \pm \frac{ 3 }{ 2 }[/math]
[math]\left( - \infty ; - \frac{3}{2}\right] \boldsymbol{U}\left[ \frac{3}{2};1 \right)[/math]
Напишите Пожалуйста дальнейшее решение, если не сложно.., и исправьте если не правильно.

Автор:  Diabllo2009 [ 10 дек 2012, 12:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство

Avgust
Я в графиках не бум бум, вообще нужно просто решение уравнения, график не нужен., я не знаю как его решить,

Автор:  Avgust [ 10 дек 2012, 12:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

График дал четкие два интервала:

[math]x \le -1.5[/math]

[math]1 \le x \le 2[/math]

Ваше дело - показать это аналитически или откорректировать мои выводы. Вот и все.

Автор:  Diabllo2009 [ 10 дек 2012, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

Avgust писал(а):
График дал четкие два интервала:

[math]x \le -1.5[/math]

[math]1 \le x \le 2[/math]

Ваше дело - показать это аналитически или откорректировать мои выводы. Вот и все.

Спасибо, но я и так мало в этом понимаю, решение которое нужно я представил чуть выше, но я не знаю правильно ли я его начал и что дальше. Буду пытаться что нибудь сделать, может получится.

Автор:  Avgust [ 10 дек 2012, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

У Вас один интервал правильный. А во втором, выходит, Вы ошиблись где-то.

Думаю, нужно так: [math]\ln(2-x)\le 0[/math]

Отсюда и появляется верный второй интервал http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%282-x%29%3C%3D0

[math]1\le x <2[/math]

Автор:  Diabllo2009 [ 10 дек 2012, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Логарифмическое неравенство с неизвестным в основании

Avgust писал(а):
У Вас один интервал правильный. А во втором, выходит, Вы ошиблись где-то.

Думаю, нужно так: [math]\ln(2-x)\le 0[/math]

Отсюда и появляется верный второй интервал http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%282-x%29%3C%3D0

[math]1\le x <2[/math]

Так вроде бы нужно сначала взять случай когда 2-x>1 а второй случай когда 2-x<1,,,,, боже, как все сложно.

А можно узнать конечный ответ., т.е. интервал который получится в конце решения всего неравенства полностью?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/