Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Jenny |
|
||
[math]\sqrt{16x-x^2-55}\left(\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1\right)=0.[/math] Приравняла корень к нулю, в итоге получила [math]x=11[/math] и [math]x=5[/math], как решить вторую скобку? |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Jenny писал(а): Определить при каких значениях параметра [math]a[/math] уравнение имеет ровно 5 решений и решить при [math]a=0[/math] [math]\sqrt{16x-x^2-55}\left(\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1\right)=0.[/math] Приравняла корень к нулю, в итоге получила [math]x=11[/math] и [math]x=5[/math], как решить вторую скобку? Воспользуемся формулой косинуса двойного угла [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta}}}[/math] [math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1=0[/math] [math]1-2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1=0[/math] [math]2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}+(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}-(4a^2+a)=0[/math] То есть получили квадратное уравнение относительно синуса, сделаем замену: [math]\sin\frac{\pi{x}}{6}=t\in[-1;1][/math] Тогда имеем: [math]2t^2+(2a+1)t-(4a^2+a)=0[/math] Найдём дискриминант квадратного уравнения: [math]D=(2a+1)^2+8(4a^2+a)=36a^2+12a+1[/math] [math]\sqrt{D}=\sqrt{36a^2+12a+1}=\sqrt{(6a+1)^2}=6a+1[/math] Найдем корни квадратного уравнения: [math]t_{1,2}=\frac{-2a-1\pm(6a+1)}{4}=\left[\begin{gathered}-2a-\frac{1}{2},\hfill\\a.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math] Так как [math]t\in[-1;1][/math], то имеем следующую систему неравенств на параметр [math]a[/math] [math]\left\{\begin{gathered}-1\leqslant-2a-\frac{1}{2}\leqslant1,\hfill\\-1\leqslant{a}\leqslant1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}-\frac{3}{4}\leqslant{a}\leqslant\frac{1}{4},\hfill\\-1\leqslant{a}\leqslant1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow-\frac{3}{4}\leqslant{a}\leqslant\frac{1}{4}.[/math] Следовательно, изначальное уравнение имеет корни когда [math]a\in\left[-\frac{3}{4};\frac{1}{4}\right][/math]. Решим уравнение [math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1[/math] при [math]a=0[/math] [math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-\sin\frac{\pi{x}}{6}-1=0\Leftrightarrow1-2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}-\sin\frac{\pi{x}}{6}-1=0\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\sin\frac{\pi{x}}{6}\left({2\sin\frac{\pi{x}}{6}+1}\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\sin\frac{\pi{x}}{6}=0,\hfill\\\sin\frac{\pi{x}}{6}=-\frac{1}{2};\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\frac{\pi{x_1}}{6}=\pi{n},\hfill\\\frac{\pi{x_2}}{6}={(-1)^k}\frac{\pi}{6}+\pi{k};\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x_1=6n,\hfill\\x_2=(-1)^k+6k.\hfill\\\end{gathered}\right.~\{n,k\}\subset\mathbb{Z}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: AntonXYZ, Jenny |
||
Jenny |
|
|
Спасибо большое, правда сложно очень, вряд ли смогу воспроизвести на олимпиаде, но спасибо за старания, буду вникать
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Jenny, обратите внимание на то, что Вам надо ещё самой ответить на вопрос задачи о значениях параметра а!
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Prokop, а я правильно нашёл допустимые значения для параметра [math]a[/math]??
И как в этой задаче корректней всего записать ответ?? Jenny, сразу не сказала, что это олимпиадный примерчик |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |