Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определить при каких значениях параметра a есть корни
СообщениеДобавлено: 31 мар 2010, 08:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 10:46
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Определить при каких значениях параметра [math]a[/math] уравнение имеет ровно 5 решений и решить при [math]a=0[/math]

[math]\sqrt{16x-x^2-55}\left(\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1\right)=0.[/math]

Приравняла корень к нулю, в итоге получила [math]x=11[/math] и [math]x=5[/math], как решить вторую скобку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить при каких значениях параметра a есть корни
СообщениеДобавлено: 01 апр 2010, 15:20 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jenny писал(а):
Определить при каких значениях параметра [math]a[/math] уравнение имеет ровно 5 решений и решить при [math]a=0[/math]

[math]\sqrt{16x-x^2-55}\left(\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1\right)=0.[/math]

Приравняла корень к нулю, в итоге получила [math]x=11[/math] и [math]x=5[/math], как решить вторую скобку?

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta}}}[/math]

[math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1=0[/math]

[math]1-2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1=0[/math]

[math]2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}+(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}-(4a^2+a)=0[/math]

То есть получили квадратное уравнение относительно синуса, сделаем замену:

[math]\sin\frac{\pi{x}}{6}=t\in[-1;1][/math]

Тогда имеем: [math]2t^2+(2a+1)t-(4a^2+a)=0[/math]

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

[math]D=(2a+1)^2+8(4a^2+a)=36a^2+12a+1[/math]

[math]\sqrt{D}=\sqrt{36a^2+12a+1}=\sqrt{(6a+1)^2}=6a+1[/math]

Найдем корни квадратного уравнения:

[math]t_{1,2}=\frac{-2a-1\pm(6a+1)}{4}=\left[\begin{gathered}-2a-\frac{1}{2},\hfill\\a.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math]

Так как [math]t\in[-1;1][/math], то имеем следующую систему неравенств на параметр [math]a[/math]

[math]\left\{\begin{gathered}-1\leqslant-2a-\frac{1}{2}\leqslant1,\hfill\\-1\leqslant{a}\leqslant1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}-\frac{3}{4}\leqslant{a}\leqslant\frac{1}{4},\hfill\\-1\leqslant{a}\leqslant1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow-\frac{3}{4}\leqslant{a}\leqslant\frac{1}{4}.[/math]

Следовательно, изначальное уравнение имеет корни когда [math]a\in\left[-\frac{3}{4};\frac{1}{4}\right][/math].

Решим уравнение [math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-(2a+1)\sin\frac{\pi{x}}{6}+4a^2+a-1[/math] при [math]a=0[/math]

[math]\cos\frac{\pi{x}}{3}-\sin\frac{\pi{x}}{6}-1=0\Leftrightarrow1-2{\sin^2}\frac{\pi{x}}{6}-\sin\frac{\pi{x}}{6}-1=0\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\sin\frac{\pi{x}}{6}\left({2\sin\frac{\pi{x}}{6}+1}\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\sin\frac{\pi{x}}{6}=0,\hfill\\\sin\frac{\pi{x}}{6}=-\frac{1}{2};\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}\frac{\pi{x_1}}{6}=\pi{n},\hfill\\\frac{\pi{x_2}}{6}={(-1)^k}\frac{\pi}{6}+\pi{k};\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x_1=6n,\hfill\\x_2=(-1)^k+6k.\hfill\\\end{gathered}\right.~\{n,k\}\subset\mathbb{Z}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
AntonXYZ, Jenny
 Заголовок сообщения: Re: Определить при каких значениях параметра a есть корни
СообщениеДобавлено: 02 апр 2010, 17:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 10:46
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое, правда сложно очень, вряд ли смогу воспроизвести на олимпиаде, но спасибо за старания, буду вникать :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить при каких значениях параметра a есть корни
СообщениеДобавлено: 05 апр 2010, 22:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jenny, обратите внимание на то, что Вам надо ещё самой ответить на вопрос задачи о значениях параметра а!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить при каких значениях параметра a есть корни
СообщениеДобавлено: 05 апр 2010, 23:15 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, а я правильно нашёл допустимые значения для параметра [math]a[/math]??
И как в этой задаче корректней всего записать ответ??

Jenny, сразу не сказала, что это олимпиадный примерчик :oops: :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
При каких значениях параметра

в форуме Алгебра

tanyhaftv

7

342

20 июл 2019, 00:11

При каких значениях параметра A функция непрерывна

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Zqquiet

1

171

13 дек 2020, 16:39

При каких значениях параметра сходится интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

Januses

1

627

01 май 2018, 09:10

При каких значениях параметра спектральный радиус<4

в форуме Численные методы

Evgenii123456

1

292

08 сен 2021, 10:38

При каких значениях параметра несобственный интеграл сх-ся

в форуме Интегральное исчисление

Gfhs

1

321

24 май 2016, 23:19

При каких значениях параметра область значения функции

в форуме Алгебра

nuclear_gandhi

41

1015

03 сен 2020, 20:52

При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня

в форуме Алгебра

Einstein

19

1005

08 окт 2016, 18:47

При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение

в форуме Алгебра

katerinamojcuk

40

616

17 май 2022, 15:08

При каких значениях параметра а функции имеют общий период

в форуме Тригонометрия

Dr_Zet

15

706

12 дек 2019, 17:19

Определить, при каких значениях а уравнение имеет решение

в форуме Тригонометрия

Businka

6

1849

24 сен 2014, 09:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved