| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение 4 степени с параметрами http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=19793 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | rol67ler [ 26 ноя 2012, 12:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнение 4 степени с параметрами |
Дано уравнение 4 степени c параметрами: [math]x^4-(4\!\!\not{\phantom{|}}\, 3)Ax^3+2Bx^2-4Cx+4=0[/math]. Нужно найти интервалы для А В С, при которых данное уравнение будет иметь действительные положительные корни. Подскажите, пожалуйста, как можно эту задачу решить. |
|
| Автор: | Avgust [ 26 ноя 2012, 15:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени |
Пусть [math]a,b,c,d \, - \,[/math] действительные положительные корни. Тогда можем записать: [math](x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0[/math] или [math]x^4-\big (a+b+c+d \big ) x^3+\big (ab+bd+bc+ad+cd\big ) x^2-\big (abc+abd+bcd+acd \big )x+abcd=0[/math] Сравнивая с исходником, будем иметь допустимые [math]A, B, C \,[/math]: [math]A=\frac 34 \big (a+b+c+d \big )[/math] [math]B=\frac 12 \big (ab+bd+bc+ad+cd \big )[/math] [math]C=\frac 14 \big (abc+abd+bcd+acd \big )[/math] Но при этом на числа [math]a,b,c,d[/math] накладывается ограничение-равенство: [math]a\cdot b\cdot c\cdot d=4[/math] Последнее равносильно тому, что число независимых параметров снижается до трех, так как, например, [math]d = \frac {4}{a b c}[/math] Ясно, что [math]A > 0 \,; \quad B > 0 \,; \quad C > 0[/math] Похоже, что верхней границы нет. |
|
| Автор: | rol67ler [ 26 ноя 2012, 16:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
Но,если находить значения корней в маткаде, например, то для при разных положительных значениях А, В, С могут быть и действительные и комплексные корни. В данном случае мне надо найти именно интервалы ( например 0<А<1/3), взяв любое значение из которых,я получу все 4 действительных корня. |
|
| Автор: | Avgust [ 26 ноя 2012, 16:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
Я в самом начале выбрал именно действительные положительные корни [math]a, b, c, d[/math]. Так что о комплексных числах забудьте. Анализируя формулы для A, B и C видим, что значения трех корней [math]a, b , c[/math] могут быть хоть миллион, хоть миллиард. Просто тогда положительный корень [math]d[/math] будет близок к 0. В трех формулах для A, B и C я верхнего их предела не вижу. Придумайте контраргумент моему предположению. |
|
| Автор: | rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
Я ни в коем случае не опровергаю ваши доводы, просто, на практике в маткаде, я вижу, что например, для С=30, чтобы для действительных корней нужно чтобы A=20, B=50, а вот для C=40, тут получаются корни при А=(60,80) С=(20,30). Но зависимость я уловить никак не могу( |
|
| Автор: | Avgust [ 26 ноя 2012, 17:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
И не уловите никогда. Потому что начинать такую задачу важно с конца - принять точно четыре действительных корня. В Вашем подходе все действия ведутся наугад, не зная наперед, какие корни получатся: действительные или мнимые. Можно годы потратить и ничего не решить в общем случае. Вот мой пример в Мапл a := 10; b := 100; c := 1000; d := 4/(a*b*c); A := evalf(3/4*(a+b+c+d)); B := evalf(1/2*(a*b+b*d+b*c+a*d+a*c+c*d)); C := evalf(1/4*(a*b*d+a*b*c+b*c*d+a*c*d)); solve(x^4-(4/3)*A*x^3+2*B*x^2-4*C*x+4 = 0, x) Результаты по этой проге: ![]() Видите, числа A,B,C сколь угодно большие. |
|
| Автор: | rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
А можно вам как-нибудь файлик кинуть, где разобрана такая же задача но для уравнения 3 степени? |
|
| Автор: | rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
| Автор: | Avgust [ 26 ноя 2012, 18:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
В данном Вашем примере, помимо того, что Вы вначале говорили, еще масса физических ограничений. Тут уже надо особо разбираться. Для уравнения 3-й степени с удовольствием бы ознакомился. |
|
| Автор: | Prokop [ 26 ноя 2012, 18:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение 4 степени с параметрами |
Если это не школьная задача, то можно использовать ряд Штурма http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1% ... 0%BC%D0%B0 или воспользоваться средствами дифференциального исчисления и геометрии, которые приводят к ограничениям [math]A>0[/math], [math]B>0[/math], [math]C>0[/math] [math]B^3+2A^2B^2>8CA^3[/math] [math]A^2>3B[/math] Возможно, я просчитался. Если не будет возражений против этого ответа, то получение этих оценок приведу попозже. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|