Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение 4 степени с параметрами
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=19793
Страница 1 из 2

Автор:  rol67ler [ 26 ноя 2012, 12:30 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение 4 степени с параметрами

Дано уравнение 4 степени c параметрами:

[math]x^4-(4\!\!\not{\phantom{|}}\, 3)Ax^3+2Bx^2-4Cx+4=0[/math].

Нужно найти интервалы для А В С, при которых данное уравнение будет иметь действительные положительные корни. Подскажите, пожалуйста, как можно эту задачу решить.

Автор:  Avgust [ 26 ноя 2012, 15:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени

Пусть [math]a,b,c,d \, - \,[/math] действительные положительные корни. Тогда можем записать:

[math](x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0[/math]

или

[math]x^4-\big (a+b+c+d \big ) x^3+\big (ab+bd+bc+ad+cd\big ) x^2-\big (abc+abd+bcd+acd \big )x+abcd=0[/math]

Сравнивая с исходником, будем иметь допустимые [math]A, B, C \,[/math]:

[math]A=\frac 34 \big (a+b+c+d \big )[/math]

[math]B=\frac 12 \big (ab+bd+bc+ad+cd \big )[/math]

[math]C=\frac 14 \big (abc+abd+bcd+acd \big )[/math]

Но при этом на числа [math]a,b,c,d[/math] накладывается ограничение-равенство:

[math]a\cdot b\cdot c\cdot d=4[/math]

Последнее равносильно тому, что число независимых параметров снижается до трех, так как, например,

[math]d = \frac {4}{a b c}[/math]

Ясно, что [math]A > 0 \,; \quad B > 0 \,; \quad C > 0[/math]

Похоже, что верхней границы нет.

Автор:  rol67ler [ 26 ноя 2012, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

Но,если находить значения корней в маткаде, например, то для при разных положительных значениях А, В, С могут быть и действительные и комплексные корни. В данном случае мне надо найти именно интервалы ( например 0<А<1/3), взяв любое значение из которых,я получу все 4 действительных корня.

Автор:  Avgust [ 26 ноя 2012, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

Я в самом начале выбрал именно действительные положительные корни [math]a, b, c, d[/math]. Так что о комплексных числах забудьте. Анализируя формулы для A, B и C видим, что значения трех корней [math]a, b , c[/math] могут быть хоть миллион, хоть миллиард. Просто тогда положительный корень [math]d[/math] будет близок к 0. В трех формулах для A, B и C я верхнего их предела не вижу. Придумайте контраргумент моему предположению.

Автор:  rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

Я ни в коем случае не опровергаю ваши доводы, просто, на практике в маткаде, я вижу, что например, для С=30, чтобы для действительных корней нужно чтобы A=20, B=50, а вот для C=40, тут получаются корни при А=(60,80) С=(20,30). Но зависимость я уловить никак не могу(

Автор:  Avgust [ 26 ноя 2012, 17:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

И не уловите никогда. Потому что начинать такую задачу важно с конца - принять точно четыре действительных корня.
В Вашем подходе все действия ведутся наугад, не зная наперед, какие корни получатся: действительные или мнимые. Можно годы потратить и ничего не решить в общем случае.

Вот мой пример в Мапл

a := 10; b := 100; c := 1000; d := 4/(a*b*c); A := evalf(3/4*(a+b+c+d)); B := evalf(1/2*(a*b+b*d+b*c+a*d+a*c+c*d)); C := evalf(1/4*(a*b*d+a*b*c+b*c*d+a*c*d)); solve(x^4-(4/3)*A*x^3+2*B*x^2-4*C*x+4 = 0, x)

Результаты по этой проге:

Изображение

Видите, числа A,B,C сколь угодно большие.

Автор:  rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

А можно вам как-нибудь файлик кинуть, где разобрана такая же задача но для уравнения 3 степени?

Автор:  rol67ler [ 26 ноя 2012, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

Изображение
Изображение

Автор:  Avgust [ 26 ноя 2012, 18:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

В данном Вашем примере, помимо того, что Вы вначале говорили, еще масса физических ограничений. Тут уже надо особо разбираться.

Для уравнения 3-й степени с удовольствием бы ознакомился.

Автор:  Prokop [ 26 ноя 2012, 18:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение 4 степени с параметрами

Если это не школьная задача, то можно использовать ряд Штурма
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1% ... 0%BC%D0%B0
или воспользоваться средствами дифференциального исчисления и геометрии, которые приводят к ограничениям
[math]A>0[/math], [math]B>0[/math], [math]C>0[/math]
[math]B^3+2A^2B^2>8CA^3[/math]
[math]A^2>3B[/math]
Возможно, я просчитался. Если не будет возражений против этого ответа, то получение этих оценок приведу попозже.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/