Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Показательное уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=19161
Страница 1 из 1

Автор:  miel-pops [ 05 ноя 2012, 23:36 ]
Заголовок сообщения:  Показательное уравнение

[math]3^x-2^x=1[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 05 ноя 2012, 23:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показательное уравнение

[math]{3^x} - {2^x} = 1 \Leftrightarrow {2^x} + 1 = {3^x},\,\left[ \div \right]{3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 1.[/math]

При решении уравнения мы воспользовались тем, что функция [math]f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}[/math] является строго убывающей на [math]R[/math] как сумма двух строго убывающих функций на [math]R[/math].

Автор:  miel-pops [ 05 ноя 2012, 23:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показательное уравнение

объясните, пожалуйста, чем вам помог факт, что функция убывающая?
вы же все равно х=1 нашли потому что это очевидно. а как же решать подобные уравнения с большими числами?

Автор:  Uncle Fedor [ 06 ноя 2012, 00:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показательное уравнение

miel-pops писал(а):
объясните, пожалуйста, чем вам помог факт, что функция убывающая?
вы же все равно х=1 нашли потому что это очевидно. а как же решать подобные уравнения с большими числами?


Равносильный переход [math]f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 1[/math] совсем не очевиден. Этот переход стал возможен благодаря строгой монотонности функции [math]f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}[/math].

Докажем, что данное уравнение не имеет корней, кроме [math]x = 1[/math].

1) Если [math]x > 1[/math], то в силу строгого убывания функции [math]f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}[/math] имеем [math]x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < 1[/math].

2) Если [math]x<1[/math], то в силу строгого убывания функции [math]f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}[/math] имеем [math]x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 1[/math].

Видим, что и в первом, и во втором случаях равенство [math]{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1[/math] невозможно.
Остаётся заметить, что значение [math]x=1[/math] является корнем данного уравнения, так как [math]{\left( {\frac{2}{3}} \right)^1} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^1} = 1[/math] - верное числовое равенство.

Подобные уравнения можно решить только с помощью свойства монотонности функций.

Автор:  miel-pops [ 06 ноя 2012, 00:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показательное уравнение

спасибо вам огромное)
извините, что отвлекаю на такие простые задания

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/