Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Система неравенств с параметром (ЕГЭ С5)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=19131
Страница 1 из 1

Автор:  Angeses [ 04 ноя 2012, 21:22 ]
Заголовок сообщения:  Система неравенств с параметром (ЕГЭ С5)

Найдите все значения а, при которых система

[math]\left\{\!\begin{aligned}(a-1)x^2+2ax+a+4\leq 0 \\ax^2+2(a+1)x+a+1\geq 0\end{aligned}\right.[/math]

имеет единственное решение.

Автор:  Human [ 05 ноя 2012, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств с параметром (ЕГЭ С5)

Как вариант.

[math]\left\{\begin{aligned}&a(x+1)^2+4-x^2\leqslant0\\&a(x+1)^2+2x+1\geqslant0\end{aligned}\right.[/math]

Как видим, при любом [math]a[/math] система имеет решение [math]x=-1[/math]. Значит нужно найти такие [math]a[/math], что система не имеет решений при [math]x\ne-1[/math]. Далее получаем

[math]\left\{\begin{aligned}&a\leqslant\frac{x^2-4}{(x+1)^2}\\&a\geqslant-\frac{2x+1}{(x+1)^2}\end{aligned}\right.[/math]

Строим на одном чертеже графики функций [math]\frac{x^2-4}{(x+1)^2}[/math] и [math]-\frac{2x+1}{(x+1)^2}[/math] и проводим прямые вида [math]y=a[/math]. Если [math]a>\frac54[/math], то прямая [math]y=a[/math] проходит выше графика функции [math]\frac{x^2-4}{(x+1)^2}[/math], значит первое равенство при этих [math]a[/math] не имеет решений, а значит и вся система. Если [math]-\frac34\leqslant a\leqslant\frac54[/math], то существуют [math]x[/math], при которых прямая [math]y=a[/math] оказывается выше [math]-\frac{2x+1}{(x+1)^2}[/math] и ниже [math]\frac{x^2-4}{(x+1)^2}[/math], то есть система имеет решения. Если [math]-1\leqslant a<-\frac34[/math], то существуют [math]x[/math], при которых [math]y=a[/math] выше [math]-\frac{2x+1}{(x+1)^2}[/math], но при этих [math]x[/math] прямая [math]y=a[/math] также выше и [math]\frac{x^2-4}{(x+1)^2}[/math], поэтому система не имеет решений. Наконец, если [math]a<-1[/math], то прямая [math]y=a[/math] ниже [math]-\frac{2x+1}{(x+1)^2}[/math], поэтому второе неравенство не имеет решений, а значит и вся система.

Итого: [math]a>\frac54[/math] и [math]a<-\frac34[/math].

Автор:  Human [ 06 ноя 2012, 02:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств с параметром (ЕГЭ С5)

Похоже, что я здесь переврал. :(
[math]x=-1[/math], наоборот, не является решением системы, поэтому полученная делением на [math](x+1)^2[/math] система опять же должна иметь ровно одно решение. Так что после этих шаманских танцев с прямой [math]y=a[/math] должны получиться значения [math]a=\frac54[/math] и [math]a=-\frac34[/math].

Проверьте кто-нибудь, может, я опять не то несу.

Автор:  pewpimkin [ 08 ноя 2012, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система неравенств с параметром (ЕГЭ С5)

Немного другое решение. Система неравенств имеет единственное решение, когда конец интервала решения одного неравенства совпадает с началом интервала решения другого неравенства, то есть система уравнений должна иметь общие корни. Выясним при каких а система имеет общие корни.Это будет необходимое условие наличия единственного решения системы


Изображение

Второй случай, когда система будет иметь единствееное решение, когда одно из неравенств будет иметь единственное решение и оно попадет в интервал ответа другого неравенства

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/