Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

При каких n выполняется равенство?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=18609
Страница 2 из 3

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Так как [math]\sqrt{n}>m- \frac{ 1 }{ 2 }[/math] то [math]2\sqrt{n}>2m-1[/math]

Автор:  Human [ 15 окт 2012, 13:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Так потом мы отнимаем (именно отнимаем, а не прибавляем, там должен быть минус) [math]\frac1{\sqrt n}[/math], и это неравенство так не получится. Разве нет?

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 13:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Нет,получится.

Автор:  Human [ 15 окт 2012, 13:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Всё равно не понимаю...
Ну смотрите, Вы получили

[math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}= \frac{ \sqrt{n(n+1)} }{ \sqrt{n} }+ \frac{ \sqrt{n(n-1)} }{ \sqrt{n} } > \frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} }[/math]

Далее должно быть так

[math]\frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} }=2\sqrt n-\frac1{\sqrt n}>2m-1-\frac1{\sqrt n}[/math]

И тут тупик. Хоть убейте, но здесь точно что-то не так.

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Вы правы :oops: я ошибся

Автор:  Human [ 15 окт 2012, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

andrei

Здесь такая грубая оценка для [math]n[/math] (соседние квадраты) не подойдёт, я специально и ввел дополнительную лемму, чтобы эту оценку немного уточнить.
Но всё ж было бы хорошо что-нибудь попроще получить.

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 13:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Я всё-таки попытаюсь доказать попроще :)

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Доработал доказательство.
Так как [math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}< m[/math] то это эквивалентно следующей системе неравенств
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} \leqslant m[/math]
В случае строго неравенства с правой стороны
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} < m[/math] имеем
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}[/math] и
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n+1}[/math] откуда
[math]2m-1 \leqslant \sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}<2m[/math] и соотвенно
[math]2m-1 \leqslant 2n<2m[/math] получаем
[math][\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} ]=[2\sqrt{n} ]=2m-1[/math]
В случае равенства [math]\sqrt{n+1}=m[/math] имеем
[math]2m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} <2m[/math] и
[math]2m-1<2\sqrt{n} <2m[/math]
[math][\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}]=[2\sqrt{n} ]=2m-1[/math]

Автор:  Human [ 15 окт 2012, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

andrei писал(а):
Так как [math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}< m[/math] то это эквивалентно следующей системе неравенств
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} \leqslant m[/math]


С правым концом согласен, туда можно "впихнуть" [math]\sqrt{n+1}[/math]. Но насчёт левого...
Скажем, [math]n=3[/math]. Тогда [math]m=2[/math]. Но [math]\sqrt{n-1}=\sqrt2<2-\frac12[/math].

Кроме того, не для каждого [math]n[/math] найдётся такое натуральное [math]m[/math], что выполняется неравенство

[math]m-\frac12<\sqrt n<m[/math]

Скажем, для [math]n=5[/math] такого числа не найдётся.

Автор:  andrei [ 15 окт 2012, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: При каких n выполняется равенство?

Если [math]n=3[/math] то [math]m=4[/math],[math]m[/math] находится из условия
[math](2m-1)^{2}<4n<(2m)^{2][/math]

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/