| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| При каких n выполняется равенство? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=18609 |
Страница 2 из 3 |
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 13:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Так как [math]\sqrt{n}>m- \frac{ 1 }{ 2 }[/math] то [math]2\sqrt{n}>2m-1[/math] |
|
| Автор: | Human [ 15 окт 2012, 13:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Так потом мы отнимаем (именно отнимаем, а не прибавляем, там должен быть минус) [math]\frac1{\sqrt n}[/math], и это неравенство так не получится. Разве нет? |
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 13:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Нет,получится. |
|
| Автор: | Human [ 15 окт 2012, 13:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Всё равно не понимаю... Ну смотрите, Вы получили [math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}= \frac{ \sqrt{n(n+1)} }{ \sqrt{n} }+ \frac{ \sqrt{n(n-1)} }{ \sqrt{n} } > \frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} }[/math] Далее должно быть так [math]\frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} }=2\sqrt n-\frac1{\sqrt n}>2m-1-\frac1{\sqrt n}[/math] И тут тупик. Хоть убейте, но здесь точно что-то не так. |
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 13:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Вы правы я ошибся
|
|
| Автор: | Human [ 15 окт 2012, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
andrei Здесь такая грубая оценка для [math]n[/math] (соседние квадраты) не подойдёт, я специально и ввел дополнительную лемму, чтобы эту оценку немного уточнить. Но всё ж было бы хорошо что-нибудь попроще получить. |
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 13:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Я всё-таки попытаюсь доказать попроще
|
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 16:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Доработал доказательство. Так как [math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}< m[/math] то это эквивалентно следующей системе неравенств [math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} \leqslant m[/math] В случае строго неравенства с правой стороны [math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} < m[/math] имеем [math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}[/math] и [math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n+1}[/math] откуда [math]2m-1 \leqslant \sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}<2m[/math] и соотвенно [math]2m-1 \leqslant 2n<2m[/math] получаем [math][\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} ]=[2\sqrt{n} ]=2m-1[/math] В случае равенства [math]\sqrt{n+1}=m[/math] имеем [math]2m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} <2m[/math] и [math]2m-1<2\sqrt{n} <2m[/math] [math][\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}]=[2\sqrt{n} ]=2m-1[/math] |
|
| Автор: | Human [ 15 окт 2012, 16:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
andrei писал(а): Так как [math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}< m[/math] то это эквивалентно следующей системе неравенств [math]m- \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \sqrt{n-1}<\sqrt{n}<\sqrt{n+1} \leqslant m[/math] С правым концом согласен, туда можно "впихнуть" [math]\sqrt{n+1}[/math]. Но насчёт левого... Скажем, [math]n=3[/math]. Тогда [math]m=2[/math]. Но [math]\sqrt{n-1}=\sqrt2<2-\frac12[/math]. Кроме того, не для каждого [math]n[/math] найдётся такое натуральное [math]m[/math], что выполняется неравенство [math]m-\frac12<\sqrt n<m[/math] Скажем, для [math]n=5[/math] такого числа не найдётся. |
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 17:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Если [math]n=3[/math] то [math]m=4[/math],[math]m[/math] находится из условия [math](2m-1)^{2}<4n<(2m)^{2][/math] |
|
| Страница 2 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|