| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| При каких n выполняется равенство? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=18609 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | Vaaanya [ 14 окт 2012, 10:53 ] |
| Заголовок сообщения: | При каких n выполняется равенство? |
При каких [math]n[/math], [math]n\in N, [\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=[2\sqrt{n}][/math] |
|
| Автор: | andrei [ 14 окт 2012, 12:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЗАДАЧИЧКА |
Воспользуйтесь редактором формул. |
|
| Автор: | Andy [ 14 окт 2012, 12:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЗАДАЧИЧКА |
Vaaanya [math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=2\sqrt{n},[/math] [math]\bigg(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\bigg)^2=4n,[/math] [math]n+1+2\sqrt{\big(n^2-1\big)}+n-1=4n,[/math] [math]2n+2\sqrt{\big(n^2-1\big)}=4n,[/math] [math]2\sqrt{\big(n^2-1\big)}=2n,[/math] [math]\sqrt{\big(n^2-1\big)}=n,[/math] [math]n^2-1=n^2.[/math] Последнее уравнение не имеет решений, поэтому не имеет решений и заданное уравнение, как я понимаю. |
|
| Автор: | Vaaanya [ 14 окт 2012, 12:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: ЗАДАЧИЧКА |
В условии не модуль а целая часть от чила? Верно ли решение при этом условии? |
|
| Автор: | mad_math [ 14 окт 2012, 12:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Vaaanya Цитата: Правила форума: Запрещено в названиях / заголовках тем использовать следующие слова: Помогите, Срочно, Очень срочно, Пожалуйста, SOS и т.п. и т.д. В том числе восклицательные знаки и символы смайлов. Название Вашей темы должно хотя бы вкратце отражать её суть. Следующую тему с заголовком "Задача", "Задачка", "Задачичка", "Интересная задачка" и т.д. закрою и отправлю в корзину. |
|
| Автор: | Vaaanya [ 14 окт 2012, 13:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
там целые части чисел, начальная формула исправлена не правильно, исправьте пожалуйста. |
|
| Автор: | Vaaanya [ 14 окт 2012, 13:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
спасибо |
|
| Автор: | Human [ 14 окт 2012, 20:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
Как мне обычно и свойственно, я опять придумал довольно нудное решение. У меня получилось, что равенство выполняется при всех [math]n[/math], кроме полных квадратов. Проверьте, если что. [spoiler=Вспомогательная лемма]Лемма. Для любого натурального числа [math]n\geqslant2[/math], не являющегося полным квадратом, найдётся такое натуральное число [math]m[/math], что выполняется неравенство [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math]. Доказательство: Разобьём ось [math][1;+\infty)[/math] числами вида [math]\frac14m^2,\ m\in\mathbb{N}[/math]. Тогда, очевидно, натуральное число [math]n[/math] попадёт в промежуток между соседними двумя числами такого вида, то есть найдётся [math]m\in\mathbb{N}[/math] такое, что [math]\frac14m^2\leqslant n<\frac14(m+1)^2[/math]. Поскольку [math]n\geqslant2[/math], то и [math]m\geqslant2[/math]. Также легко проверить, что при [math]m\geqslant2[/math] выполняется неравенство [math]\frac14m^2<\frac14m^2+\frac1{m^2}<\frac14(m+1)^2[/math], то есть точка [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math] лежит внутри интервала [math]\left(\frac14m^2;\frac14(m+1)^2\right)[/math]. Предположим, что [math]\frac14m^2\leqslant n\leqslant\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math]. Пусть [math]m=2k-1\ k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]k^2-k+\frac14\leqslant n\leqslant k^2-k+\frac14+\frac1{m^2}<k^2-k+1[/math]. Число [math]k^2-k[/math] целое, значит число [math]n[/math] лежит в интервале, не содержащем целые точки, чего не может быть. Пусть теперь [math]m=2k,\ k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]k^2\leqslant n\leqslant k^2+\frac1{m^2}<k^2+1[/math]. Поскольку по условию число [math]n[/math] не является полным квадратом, то [math]n\ne k^2[/math], и значит число [math]n[/math] снова лежит в интервале, не содержащем целые точки. Значит предположение не верно, и значит [math]n[/math] лежит в правой части интервала, то есть [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math], ч. и т. д.[/spoiler] [spoiler=Решение]При [math]n=1[/math] равенство не выполняется. Пусть [math]n=k^2,\ k\in\mathbb{N},\ k\geqslant2[/math]. Тогда [math][2\sqrt n]=2k=2\sqrt n[/math]. Легко проверить, что при любом натуральном [math]n[/math] выполнено неравенство [math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt n[/math]. Значит [math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]\leqslant\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt n=[2\sqrt n][/math], то есть равенство на полных квадратах не выполняется. Пусть теперь [math]n[/math] не является полным квадратом и [math]n\geqslant2[/math]. Тогда по доказанной лемме, найдётся такое натуральное число [math]m[/math], что [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math]. Поскольку [math]\frac14m^2<\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math], то [math]\frac14m^2<n<\frac14(m+1)^2[/math] откуда [math]m<2\sqrt n<m+1[/math] значит [math][2\sqrt n]=m[/math]. С другой стороны, поскольку [math]\frac14(m+1)^2<\frac14(m+1)^2+\frac1{(m+1)^2}[/math] выполняется неравенство [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2+\frac1{(m+1)^2}[/math] Отсюда последовательно получаем [math]\frac{(m^2\pm2)^2}{4m^2}<n\pm1<\frac{((m+1)^2\pm2)^2}{4(m+1)^2}[/math] [math]\frac{m^2\pm2}{2m}<\sqrt{n\pm1}<\frac{(m+1)^2\pm2}{2(m+1)}[/math] [math]m<\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<m+1[/math] и значит [math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=m[/math], то есть равенство выполняется.[/spoiler] В целом очень красивая задача, но имхо довольно сложная, если, конечно, нет доказательства попроще. |
|
| Автор: | andrei [ 15 окт 2012, 13:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
1)Очевидно [math]\sqrt{n+1}>\sqrt{n-1}[/math] откуда [math]\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}>0[/math] возводим в квадрат [math](n+1)-2\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}+(n-1)>0[/math] откуда получаем [math]4n>(n+1)+2\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}+(n-1)=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})^{2}[/math] и окончательно [math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt{n} \,\,\,\ (1)[/math] 2)Пусть [math](2m-1)^{2}<4n<(2n)^{2} \,\,\, m \in \mathbb{N}[/math] откуда [math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}<m[/math] [math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}= \frac{ \sqrt{n(n+1)} }{ \sqrt{n} }+ \frac{ \sqrt{n(n-1)} }{ \sqrt{n} } > \frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} } =2\sqrt{n}+ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } >2m-1 \,\,\ (2)[/math] объединяя [math](1)[/math] и [math](2)[/math] окончательно получим [math]2m-1<\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt{n}<2m \,\,\,\ (3)[/math] Откуда видно,что [math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=[2\sqrt{n}]=2m-1[/math] В случае.когда [math]n=m[/math] получим [math][[\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=2m-1[/math] а [math][2\sqrt{n}]=m[/math] |
|
| Автор: | Human [ 15 окт 2012, 13:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: При каких n выполняется равенство? |
andrei писал(а): [math]2\sqrt{n}+ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } >2m-1[/math] Там, наверно, вместо плюса должен быть минус. Можете тогда пояснить, как получено это неравенство? |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|