Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 10:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 окт 2012, 19:11
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При каких [math]n[/math], [math]n\in N, [\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=[2\sqrt{n}][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЗАДАЧИЧКА
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 12:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Воспользуйтесь редактором формул.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЗАДАЧИЧКА
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 12:11 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vaaanya
[math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}=2\sqrt{n},[/math]

[math]\bigg(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\bigg)^2=4n,[/math]

[math]n+1+2\sqrt{\big(n^2-1\big)}+n-1=4n,[/math]

[math]2n+2\sqrt{\big(n^2-1\big)}=4n,[/math]

[math]2\sqrt{\big(n^2-1\big)}=2n,[/math]

[math]\sqrt{\big(n^2-1\big)}=n,[/math]

[math]n^2-1=n^2.[/math]

Последнее уравнение не имеет решений, поэтому не имеет решений и заданное уравнение, как я понимаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЗАДАЧИЧКА
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 12:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 окт 2012, 19:11
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В условии не модуль а целая часть от чила?
Верно ли решение при этом условии?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 12:40 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vaaanya

Цитата:
Правила форума:

Запрещено в названиях / заголовках тем использовать следующие слова:

Помогите, Срочно, Очень срочно, Пожалуйста, SOS и т.п. и т.д. В том числе восклицательные знаки и символы смайлов.

Название Вашей темы должно хотя бы вкратце отражать её суть.


Следующую тему с заголовком "Задача", "Задачка", "Задачичка", "Интересная задачка" и т.д. закрою и отправлю в корзину.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Vaaanya
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 13:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 окт 2012, 19:11
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
там целые части чисел, начальная формула исправлена не правильно, исправьте пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 13:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 окт 2012, 19:11
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 20:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как мне обычно и свойственно, я опять придумал довольно нудное решение. У меня получилось, что равенство выполняется при всех [math]n[/math], кроме полных квадратов. Проверьте, если что.

[spoiler=Вспомогательная лемма]Лемма. Для любого натурального числа [math]n\geqslant2[/math], не являющегося полным квадратом, найдётся такое натуральное число [math]m[/math], что выполняется неравенство [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math].

Доказательство: Разобьём ось [math][1;+\infty)[/math] числами вида [math]\frac14m^2,\ m\in\mathbb{N}[/math]. Тогда, очевидно, натуральное число [math]n[/math] попадёт в промежуток между соседними двумя числами такого вида, то есть найдётся [math]m\in\mathbb{N}[/math] такое, что [math]\frac14m^2\leqslant n<\frac14(m+1)^2[/math]. Поскольку [math]n\geqslant2[/math], то и [math]m\geqslant2[/math]. Также легко проверить, что при [math]m\geqslant2[/math] выполняется неравенство

[math]\frac14m^2<\frac14m^2+\frac1{m^2}<\frac14(m+1)^2[/math],

то есть точка [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math] лежит внутри интервала [math]\left(\frac14m^2;\frac14(m+1)^2\right)[/math].

Предположим, что [math]\frac14m^2\leqslant n\leqslant\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math]. Пусть [math]m=2k-1\ k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда

[math]k^2-k+\frac14\leqslant n\leqslant k^2-k+\frac14+\frac1{m^2}<k^2-k+1[/math].

Число [math]k^2-k[/math] целое, значит число [math]n[/math] лежит в интервале, не содержащем целые точки, чего не может быть. Пусть теперь [math]m=2k,\ k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда

[math]k^2\leqslant n\leqslant k^2+\frac1{m^2}<k^2+1[/math].

Поскольку по условию число [math]n[/math] не является полным квадратом, то [math]n\ne k^2[/math], и значит число [math]n[/math] снова лежит в интервале, не содержащем целые точки. Значит предположение не верно, и значит [math]n[/math] лежит в правой части интервала, то есть [math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math], ч. и т. д.[/spoiler]

[spoiler=Решение]При [math]n=1[/math] равенство не выполняется. Пусть [math]n=k^2,\ k\in\mathbb{N},\ k\geqslant2[/math]. Тогда [math][2\sqrt n]=2k=2\sqrt n[/math]. Легко проверить, что при любом натуральном [math]n[/math] выполнено неравенство

[math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt n[/math].

Значит

[math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]\leqslant\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt n=[2\sqrt n][/math],

то есть равенство на полных квадратах не выполняется.

Пусть теперь [math]n[/math] не является полным квадратом и [math]n\geqslant2[/math]. Тогда по доказанной лемме, найдётся такое натуральное число [math]m[/math], что

[math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2[/math].

Поскольку [math]\frac14m^2<\frac14m^2+\frac1{m^2}[/math], то

[math]\frac14m^2<n<\frac14(m+1)^2[/math]

откуда

[math]m<2\sqrt n<m+1[/math]

значит [math][2\sqrt n]=m[/math]. С другой стороны, поскольку [math]\frac14(m+1)^2<\frac14(m+1)^2+\frac1{(m+1)^2}[/math] выполняется неравенство

[math]\frac14m^2+\frac1{m^2}<n<\frac14(m+1)^2+\frac1{(m+1)^2}[/math]

Отсюда последовательно получаем

[math]\frac{(m^2\pm2)^2}{4m^2}<n\pm1<\frac{((m+1)^2\pm2)^2}{4(m+1)^2}[/math]

[math]\frac{m^2\pm2}{2m}<\sqrt{n\pm1}<\frac{(m+1)^2\pm2}{2(m+1)}[/math]

[math]m<\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<m+1[/math]

и значит [math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=m[/math], то есть равенство выполняется.[/spoiler]

В целом очень красивая задача, но имхо довольно сложная, если, конечно, нет доказательства попроще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 15 окт 2012, 13:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1)Очевидно [math]\sqrt{n+1}>\sqrt{n-1}[/math] откуда
[math]\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}>0[/math] возводим в квадрат
[math](n+1)-2\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}+(n-1)>0[/math] откуда получаем
[math]4n>(n+1)+2\sqrt{n+1}\sqrt{n-1}+(n-1)=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})^{2}[/math] и окончательно
[math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt{n} \,\,\,\ (1)[/math]
2)Пусть [math](2m-1)^{2}<4n<(2n)^{2} \,\,\, m \in \mathbb{N}[/math] откуда
[math]m- \frac{ 1 }{ 2 }<\sqrt{n}<m[/math]
[math]\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}= \frac{ \sqrt{n(n+1)} }{ \sqrt{n} }+ \frac{ \sqrt{n(n-1)} }{ \sqrt{n} } > \frac{ n+n-1 }{ \sqrt{n} } =2\sqrt{n}+ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } >2m-1 \,\,\ (2)[/math]
объединяя [math](1)[/math] и [math](2)[/math] окончательно получим
[math]2m-1<\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}<2\sqrt{n}<2m \,\,\,\ (3)[/math]
Откуда видно,что [math][\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=[2\sqrt{n}]=2m-1[/math]
В случае.когда [math]n=m[/math] получим [math][[\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}]=2m-1[/math] а [math][2\sqrt{n}]=m[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких n выполняется равенство?
СообщениеДобавлено: 15 окт 2012, 13:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
[math]2\sqrt{n}+ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } >2m-1[/math]

Там, наверно, вместо плюса должен быть минус. Можете тогда пояснить, как получено это неравенство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 24 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
При каких значениях х выполняется равенство

в форуме Алгебра

dikarka2004

3

249

18 май 2021, 09:02

В каких случаях выполняется равенство с вероятностями

в форуме Теория вероятностей

Geomath

7

578

14 ноя 2018, 18:53

При каких значениях а выполняется неравенство

в форуме Алгебра

VulkanApi

1

236

07 июн 2019, 19:05

При каком значении n выполняется равенство

в форуме Алгебра

dikarka2004

8

884

02 фев 2021, 16:31

Не понятно почему выполняется равенство

в форуме Алгебра

powsem

2

343

02 июл 2017, 10:30

Найти при каких действительных x и y справедливо равенство

в форуме Алгебра

aloffstep

2

550

22 янв 2019, 19:18

Доказать в каких случаях имеет место равенство

в форуме Теория вероятностей

Lostmyplace

8

1112

10 дек 2014, 20:32

Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

595

22 сен 2015, 14:35

Выполняется ли транзитивность?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Rodi0n_spb

1

170

24 сен 2020, 13:13

Выполняется ли свойство?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

rangersdark

0

233

08 ноя 2015, 13:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved