Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Симметрия уравнения относительно перемены знака Х
СообщениеДобавлено: 04 авг 2012, 22:16 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 21:12
Сообщений: 895
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано такое уравнение с параметром:
[math]{x^4} + {\left( {a - 3} \right)^2} = \left| {x - a + 3} \right| + \left| {x + a - 3} \right|[/math]
и нужно найти такие значения параметра, при которых уравнение имеет либо одно, либо 0 решений.

Один умный человек предложил такое решение: "Если увидеть симметрию уравнения относительно перемены знака x, то понятно, что единственный корень будет х=0. Тогда получаем уравнение [math]{\left( {a - 3} \right)^2} = 2\left| {a - 3} \right[/math] с корнями а=1, а=3, а=5. а=3-лишнее решение. Дальше из функциональных соображений устанавливаем неравенство [math]{\left( {a - 3} \right)^2>}2\left| {a - 3} \right|[/math]/, решая которое и получим ответ на задание.

Только я никак не могу понять, что это за функциональные соображения такие, после которых мы приходим к такому неравенству. Ведь было равенство...
И как вообще понимать "симметрия уравнения относительно перемены знака x"? Сперва я думал, что это похоже на это [math]f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)[/math], но ведь не всегда в этом случае решением является только х=0.
Пожалуйста, объясните эти моменты :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Симметрия уравнения относительно перемены знака Х
СообщениеДобавлено: 04 авг 2012, 22:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 4179
Cпасибо сказано: 516
Спасибо получено:
1041 раз в 919 сообщениях
Очков репутации: 310

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
И как вообще понимать "симметрия уравнения относительно перемены знака x"?


1) Одно решение.
Обратите внимание, что уравнение не меняется при замене [math]x[/math] на [math]-x[/math], т.к. [math]|\varphi (x)|=|-\varphi (x)|[/math]. Если [math]x_0[/math] - корень, то и [math]-x_0[/math] является корнем. Откуда, в силу единственности решения, [math]x_0=-x_0[/math], значит, [math]x_0=0[/math]. Подставим [math]0[/math] вместо [math]x[/math] и решим получившееся уравнение. Найдя его решения, нужно поочерёдно подставить [math]a[/math] в исходное уравнение и отобрать те, при которых имеется лишь одно решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Симметрия уравнения относительно перемены знака Х
СообщениеДобавлено: 04 авг 2012, 22:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6230
Cпасибо сказано: 400
Спасибо получено:
3140 раз в 2470 сообщениях
Очков репутации: 662

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Если сложить два этих уголка, то графиком будет прямая, параллельная оси х и будет эта линия пересекать график x^4+b^2 в двух точках.Следов.Один корень будет тогда, когда вершина параболы будет касаться полученной прямой, а это будет только при х=0. Ну и т.д

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Ellipsoid, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Симметрия уравнения относительно перемены знака Х
СообщениеДобавлено: 04 авг 2012, 23:46 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 13:46
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
167 раз в 148 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
выше что то невнятное написано
ну в=а-3 очевидно
далее уравнение симметрично не только относительно х но и в, значит достаточно неотрицательные в рассмотреть
в=0 очевидно не то,
в от нуля до 2, тоже потому что в нуле левая часть меньше чем правая а при больших икс наоборот, значит есть как минимум парочка решений
в=2 сойдет
в>2 тоже так как [math]x^4+b^2>2x[/math]
ну и к а возвращаемся


Последний раз редактировалось MihailM 04 авг 2012, 23:48, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Симметрия уравнения относительно перемены знака Х
СообщениеДобавлено: 05 авг 2012, 12:21 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2687
Cпасибо сказано: 177
Спасибо получено:
845 раз в 720 сообщениях
Очков репутации: 253

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Построив график функции от двух переменных (x,a), сразу увидим ответ:
[math]a\leq 1 ,a\geqslant 5 .[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Arctan без знака

в форуме Тригонометрия

Ilya83

1

117

28 авг 2017, 12:21

Смена знака в неравенства

в форуме Алгебра

belinum

6

669

04 июн 2014, 09:10

Как избавиться от знака интеграла?

в форуме Интегральное исчисление

oobarbazanoo

1

109

25 май 2016, 14:57

Симметрия

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ilya0003

3

183

16 ноя 2014, 15:10

Симметрия многочленов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ahgel1990

1

194

15 янв 2015, 02:56

Симметрия во Вселенной

в форуме Дискуссионные математические проблемы

CasperFX

3

501

15 ноя 2013, 18:20

Симметрия в пространстве

в форуме Геометрия

Olga1975

2

140

21 окт 2015, 16:38

Центральная симметрия

в форуме Геометрия

H0las

4

288

22 сен 2014, 23:30

Осевая симметрия

в форуме Геометрия

Crazy-Alex

1

841

18 фев 2013, 19:11

Осевая симметрия

в форуме Геометрия

dasha math

1

518

21 апр 2014, 07:25


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Race, Student Studentovich и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved