Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Жорданова форма матрицы
ОглавлениеЛинейная алгебра

Жорданова форма матрицы


Рассматривается задача упрощения квадратной матрицы при помощи преобразования подобия. Наиболее простой вид квадратной матрицы — диагональный. Для диагональных матриц легко решаются многие типовые задачи линейной алгебры, например, обращение матриц, решение системы уравнений, нахождение многочлена от матрицы и т.п. Однако, как показано ранее, не всякая квадратная матрица подобна диагональной. Поэтому возникает необходимость приведения матрицы к такому виду, пусть даже не диагональному, чтобы при решении типовых задач линейной алгебры не возникало значительных трудностей.


Элементарные делители матрицы


Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица n-го порядка. Характеристическая матрица [math](A-\lambda E)[/math] приводится (элементарными преобразованиями) к нормальному диагональному виду [math]\operatorname{diag} \Bigl(e_1(\lambda), \ldots,e_n(\lambda)\Bigr)[/math], где [math]e_i(\lambda)[/math]инвариантные множители матрицы [math](A-\lambda E)[/math]. Характеристический многочлен согласно свойству 2 можно представить в виде (7.25):


[math]\Delta_{A}(\lambda)=(-1)^n\cdot e_1(\lambda)\cdot e_2(\lambda)\cdot\ldots\cdot e_n(\lambda).[/math]

Разложим каждый из многочленов [math]e_i(\lambda)[/math] на линейные множители:


[math]\begin{aligned} e_1(\lambda)&= (\lambda-\lambda_1)^{a_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{a_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{a_k},\\[2pt] e_2(\lambda)&= (\lambda-\lambda_1)^{b_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{b_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{b_k},\\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ e_{n-1}(\lambda)&= (\lambda-\lambda_1)^{\ell_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{\ell_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{\ell_k},\\[2pt] e_n(\lambda)&= (\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{m_k}. \end{aligned}[/math]
(7.33)

Здесь [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math] — различные собственные значения матрицы [math]A[/math]; показатели степеней, удовлетворяют неравенствам [math]0\leqslant a_i\leqslant b_i\leqslant\ldots \leqslant\ell_i\leqslant m_i[/math] [math](i=1,\ldots,k)[/math] так как каждый последующий инвариантный множитель делится на предыдущий. Некоторые из множителей [math](\lambda-\lambda_i)^j[/math] в (7.33) могут иметь нулевую степень, т.е. быть равными единице. Исключение составляют множители [math](\lambda-\lambda_i)^{m_i}[/math] минимального многочлена (7.29) ([math]\mu_{A}(\lambda)=e_n(\lambda)[/math] по свойству 6) , для которых согласно свойству 4 все показатели степеней больше или равны единицы [math](m_i\geqslant1,~ i=1,\ldots,k)[/math].


Учитывая, что характеристический многочлен (7.24) равен произведению инвариантных множителей (с коэффициентом [math](-1)^n[/math]):


[math]\Delta_{A}(\lambda)= (-1)^n\cdot (\lambda-\lambda_1)^{n_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{n_k}= (-1)^n\cdot e_1(\lambda)\cdot e_2(\lambda)\cdot \ldots\cdot e_n(\lambda),[/math]

получаем, что [math]a_i+b_i+\ldots+\ell_i+m_i=n_i~(i=1,\ldots,k)[/math] и [math]n_1+n_2+\ldots+ n_k=n[/math], т.е. сумма степеней всех инвариантных множителей равна порядку квадратной матрицы [math]A[/math].


Каждый отличный от единицы многочлен вида [math](\lambda-\lambda)^j[/math], указанный в | разложениях (7.33) инвариантных множителей, называется элементарным делителем характеристической матрицы [math](A-\lambda E)[/math] (или просто элементарным делителем матрицы [math]A[/math]).


По формулам (7.33) можно составить таблицу элементарных делителей:


[math]\begin{matrix}(\lambda-\lambda_1)^{m_1},&(\lambda-\lambda_1)^{\ell_1}, &\ldots\,,&(\lambda-\lambda_1)^{b_1},&(\lambda-\lambda_1)^{a_1},\\[4pt] (\lambda-\lambda_2)^{m_2}, &(\lambda-\lambda_2)^{\ell_2},&\ldots\,,&(\lambda-\lambda_2)^{b_2},& (\lambda-\lambda_2)^{a_2}, \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\[4pt] (\lambda-\lambda_k)^{m_k}, &(\lambda-\lambda_k)^{\ell_k}, &\ldots\,,&(\lambda-\lambda_k)^{b_k},&(\lambda-\lambda_k)^{a_k}. \end{matrix}[/math]
(7.34)



Составление таблицы элементарных делителей по таблице инвариантных множителей


Для составления таблицы (7.34) элементарных делителей по таблице (7.33) инвариантных множителей нужно:


а) в первый столбец таблицы (7.34) записать элементарные делители последнего инвариантного множителя [math]e_n(\lambda)[/math] из таблицы (7.33);


б) во второй столбец (7.34) записать элементарные делители предпоследнего инвариантного множителя [math]e_{n-1}(\lambda)[/math] из таблицы (7.33) так, чтобы в i-й строке (7.34) были степени одного и того же двучлена [math](\lambda-\lambda_i)[/math], и т.д. 18 последний столбец (7.34) записать элементарные делители первого инвариантного множителя [math]e_1(\lambda)[/math] из таблицы (7.33) так, чтобы в i-й строке (7.34) были степени одного и того же двучлена [math](\lambda-\lambda_i)[/math].


Элементы, тождественно равные единице, не являются элементарными делителями и в таблицу (7.34) не заносятся. Поэтому в каждой строке таблицы может быть разное количество элементарных делителей, точнее, в каждом последующем столбце количество делителей не больше, чем в предыдущем. В каждой строке таблицы (7.34) стоят делители [math](\lambda-\lambda_i)^j[/math], относящиеся к одному собственному значению [math]\lambda_i[/math]. Поскольку собственные значения [math]\lambda_1,\ldots,\lambda_k[/math] могут быть упорядочены по-разному, то и строки таблицы (7.34) можно переставлять. Это не будет в дальнейшем иметь существенного значения.




Составление таблицы инвариантных множителей по таблице элементарных делителей


По таблице (7.34) элементарных делителей можно восстановить таблицу (7.33) инвариантных множителей. Для этого нужно:


а) перемножая элементарные делители первого столбца таблицы (7.34), получить последний инвариантный множитель [math]e_n(\lambda)[/math] в таблице (7.33);


б) перемножая элементарные делители второго столбца таблицы (7.34), получить предпоследний инвариантный множитель [math]e_{n-1}(\lambda)[/math] в таблице (7.33) и т.д. Исчерпав столбцы таблицы (7.34), дописываем недостающие инвариантные множители, полагая их равными единице (количество инвариантных множителей равно сумме степеней всех элементарных делителей, т.е. порядку матрицы).


Заметим, что, составляя таблицу (7.33) по таблице (7.34), можно переставлять строки таблицы (7.34), так как это не приведет к изменению таблицы (7.33). Столбцы таблицы (7.34) переставлять нельзя.


Согласно теореме об инвариантных множителях, эквивалентные характеристические матрицы [math](A-\lambda E)[/math] и [math](B-\lambda E)[/math] имеют одинаковые инвариантные множители (7.33). Тогда они имеют и одинаковые элементарные делители (7.34). Следовательно, критерий подобия числовых матриц можно сформулировать следующим образом.


Теорема 7.8 (критерий подобия матриц). Числовые матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементарные делители.


Таким образом, нахождение подобных матриц связано с умением составлять матрицы, элементарные делители которых совпадают с заданной таблицей (7.34).




Жордановы клетки и матрицы


Квадратную матрицу (r-го порядка) вида


[math]J_{r}(\lambda_0)= \begin{pmatrix}\lambda_0&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&\lambda_0 \end{pmatrix}[/math]
(7.35)

называют жордановой клеткой r-го порядка, соответствующей собственному значению [math]\lambda_0[/math]. Все элементы на главной диагонали этой верхней треугольной матрицы равны [math]\lambda_0[/math], элементы над главной диагональю равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Найдем элементарные делители жордановой клетки. Для этого составим характеристическую матрицу


[math]J_{r}(\lambda_0)-\lambda E= \begin{pmatrix}\lambda_0-\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_0-\lambda&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&\lambda_0-\lambda \end{pmatrix}[/math]

и найдем наибольшие общие делители [math]d_i(\lambda)[/math] миноров i-го порядка. Среди ненулевых миноров первого порядка есть минор, равный единице [math](M_{{}_2}^{{}^1}=1)[/math]. Рассматривая его как многочлен нулевой степени, заключаем, что наибольший общий делитель миноров первого порядка должен быть также многочленом нулевой степени, т.е. [math]d_1(\lambda)=1[/math]. Среди миноров второго порядка также имеется минор, равный единице: [math]M_{{}_{2\,3}}^{{}^{1\,2}}=\begin{vmatrix}1&0\\ \lambda_0-\lambda&1 \end{vmatrix}[/math], следовательно, [math]d_2(\lambda)=1[/math] и т.д. Минор (r-l)-гo порядка [math]M_{{}_{2\,3\,\ldots\,r}}^{{}^{1\,2\,\ldots\,r-1}}[/math] имеет нижний треугольный вид с единичными элементами на главной диагонали, т.е. [math]M_{{}_{2\,3\,\ldots\,r}}^{{}^{1\,2\,\ldots\,r-1}}=1[/math]. Поэтому [math]d_{r-1}(\lambda)=1[/math]. Минор r-го порядка, т.е. определитель характеристической матрицы, равен [math](\lambda_0-\lambda)^r[/math], поэтому [math]d_r(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^r[/math]. По формулам (7.11) находим инвариантные множители:


[math]e_1(\lambda)=e_2(\lambda)=\ldots=e_{r-1}(\lambda)=1,\quad e_r(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^r.[/math]

Следовательно, жорданова клетка (7.35) имеет всего один элементарный делитель [math](\lambda-\lambda_0)^r[/math]. Поэтому характеристическая матрица приводится к нормальному диагональному виду (7.9):


[math]\Bigl(J_A(\lambda_0)-\lambda E\Bigr)\sim \operatorname{diag} \underbrace{\Bigl(1,\ldots,1, (\lambda-\lambda_0)^r\Bigr)}_{r}.[/math]
(7.36)

Заметим, что характеристический многочлен [math]\Delta_{J_A(\lambda_0)}= (\lambda-\lambda_0)^r[/math] имеет единственный корень [math]\lambda_0[/math] кратности [math]r[/math], т.е. [math]\lambda_0[/math] — собственное значение матрицы (7.35).


Рассмотрим теперь блочно-диагональную матрицу


[math]J=\operatorname{diag}\Bigl(J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2)\Bigr)= \begin{pmatrix}J_{r_1}(\lambda_1)\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!& J_{r_2}(\lambda_2) \end{pmatrix}\!,[/math]
(7.37)

где [math]J_{r_1}(\lambda_1)[/math] и [math]J_{r_2}(\lambda_2)[/math] — жордановы клетки, а [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров. Для определенности считаем, что [math]r_1\geqslant r_2[/math]. Характеристическая матрица [math](J-\lambda E)[/math] также имеет блочно-диагональный вид. С помощью элементарных преобразований каждого блока матрица [math](J-\lambda E)[/math], учитывая (7.36), приводится к диагональному виду


[math](J-\lambda E)\sim \operatorname{diag} \underbrace{\left(1,\ldots,1,(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\right.}_{r_1}, \underbrace{\left.{1,\ldots,1,(\lambda-\lambda_2)^{r_2}}\right)}_{r_2}[/math]

Если [math]\lambda_1\ne \lambda_2[/math], то [math]d_1(\lambda)=\ldots=d_{r_1+r_2-1}(\lambda)=1,~ d_{r_1+r_2}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{r_2}[/math].


Тогда [math]e_1(\lambda)=\ldots=e_{r_1+r_2-1}(\lambda)=1,~ e_{r_1+r_2}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{r_2}[/math].


Следовательно, матрица (7.37) имеет два элементарных делителя [math](\lambda-\lambda_1)^{r_1}[/math] и [math](\lambda-\lambda_2)^{r_2}[/math].


Если [math]\lambda_1=\lambda_2[/math], то [math]d_1(\lambda)=\ldots=d_{r_1+r_2-2}(\lambda)=1,~ d_{r_1+r_2-1}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_2},~ d_{r_1+r_2}(\lambda)= (\lambda-\lambda_2)^{r_1+r_2}[/math].


Тогда [math]e_1(\lambda)=\ldots=e_{r_1+r_2-2}(\lambda)=1,~ e_{r_1+r_2-1}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_2},~ e_{r_1+r_2}(\lambda)=(\lambda-\lambda_2)^{r_1}[/math].


Следовательно, матрица (7.37) имеет два элементарных делителя [math](\lambda-\lambda_1)^{r_1}[/math] и [math](\lambda-\lambda_2)^{r_2}[/math].


Таким образом, элементарные делители блочно-диагональной матрицы (7.37) получаются объединением элементарных делителей каждого блока.




Определение жордановой матрицы


Жордановой матрицей называют блочно-диагональную матрицу, на диагонали которой стоят жордановы клетки:


[math]J=\operatorname{diag}\Bigl(J_{r_1}(\lambda_1),\, J_{r_2}(\lambda_2),\,\ldots,\, J_{r_k}(\lambda_k)\Bigr)= \begin{pmatrix} J_{r_1}(\lambda_1)\!\!&\vline\!\!&O\!\!& \vline\!\!&\cdots\!\!&\vline\!\!&O\\[4pt]\hline O\!\!&\vline\!\!& J_{r_2}(\lambda_2)\!\!&\vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!&O\\[4pt]\hline \vdots\!\!&\vline\!\!& \vdots\!\!& \vline\!\!&\ddots\!\!&\vline\!\!& \vdots\\[4pt]\hline O\!\!&\vline\!\!& O\!\!&\vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& J_{r_k}(\lambda_k) \end{pmatrix}\!.[/math]
(7.38)

Здесь [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров. Среди собственных значений [math]\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k[/math] могут быть равные, размеры [math]r_1,r_2,\ldots, r_k[/math] жордановых клеток (всех или некоторых) тоже могут совпадать. Жорданова матрица — почти диагональная. На ее главной диагонали стоят собственные значения, некоторые элементы над главной диагональю равны единице, остальные элементы нулевые. Про матрицу (7.38) говорят, что она имеет нормальную жорданову форму (или просто жорданову форму).


Элементарные делители жордановой матрицы (7.38) [math](\lambda- \lambda_1)^{r_1},\,(\lambda-\lambda_2)^{r_2},\,\ldots,\, (\lambda-\lambda_k)^{r_k}[/math] получаются в результате объединения элементарных делителей жордановых клеток.




Составление жордановой матрицы по таблице элементарных делителей


Чтобы составить по таблице (7.34) элементарных делителей соответствующую жорданову матрицу, нужно:


а) для первой строки [math](\lambda-\lambda_1)^{m_1},\, (\lambda-\lambda_1)^{\ell_1},\,\ldots,\, (\lambda-\lambda_1)^{b_1},\,(\lambda-\lambda_1)^{a_1}[/math] элементарных делителей в (7.34) записать жордановы клетки


[math]J_{m_1}(\lambda_1),\quad J_{\ell_1}(\lambda_1),\quad \ldots,\quad J_{b_1}(\lambda_1),\quad J_{a_1}(\lambda_1);[/math]

б) для второй строки [math](\lambda-\lambda_2)^{m_2},\, (\lambda-\lambda_2)^{\ell_2},\,\ldots,\, (\lambda-\lambda_2)^{b_2},\,(\lambda-\lambda_1)^{a_2}[/math] элементарных делителей в (7.34) записать жордановы клетки


[math]J_{m_2}(\lambda_2),\quad J_{\ell_2}(\lambda_2),\quad \ldots,\quad J_{b_2}(\lambda_2),\quad J_{a_2}(\lambda_2)[/math]

и т.д. Получив полный набор жордановых клеток (количество которых совпадает с количеством элементарных делителей в таблице (7.34)), составить из них блочно-диагональную матрицу вида (7.38). Порядок, в котором нужно располагать жордановы клетки на диагонали, строго не регламентирован. Поэтому для одной и той же таблицы (7.34) можно получить разные жордановы матрицы, отличающиеся только перестановкой жордановых клеток.



Составление таблицы элементарных делителей по жордановой матрице


Чтобы по жордановой матрице (7.38) составить таблицу (7.34) ее элементарных делителей, нужно:


а) выбрать в жордановой матрице все жордановы клетки, соответствующие собственному значению [math]\lambda_1[/math]; составить для каждой клетки элементарный делитель, а затем записать эти элементарные делители в порядке убывания степеней в первую строку таблицы (7.34), например, для жордановых клеток


[math]J_{m_1}(\lambda_1),\quad J_{\ell_1}(\lambda_1),\quad \ldots,\quad J_{b_1}(\lambda_1),\quad J_{a_1}(\lambda_1)[/math], где [math]m_1\geqslant\ell_1\geqslant\ldots \geqslant b_1\geqslant a_1\geqslant1[/math],

записать строку [math](\lambda-\lambda_1)^{m_1},\, (\lambda-\lambda_1)^{\ell_1},\,\ldots,\, (\lambda-\lambda_1)^{b_1},\,(\lambda-\lambda_1)^{a_1}[/math] элементарных делителей;


б) выбрать в жордановой матрице все жордановы клетки, соответствующие собственному значению [math]\lambda_2[/math], составить для каждой клетки элементарный делитель, а затем записать эти элементарные делители в порядке убывания степеней во вторую строку таблицы (7.34) и т.д., пока не исчерпаются все собственные значения данной жордановой матрицы. Порядок, в котором выбираются собственные значения жордановой матрицы, точно не устанавливается. Поэтому для одной жордановой матрицы можно получить разные таблицы элементарных делителей, которые будут отличаться только перестановкой строк. Ранее отмечалось, что перестановка строк таблицы (7.34) не влияет на составление таблицы (7.33) инвариантных множителей.




Замечания 7.6


1. Диагональная матрица имеет жорданову форму, в которой все жордановы клетки первого порядка:


[math]\operatorname{diag}(\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots,\, \lambda_n)= \operatorname{diag} \Bigl(J_1(\lambda_1),\,J_1(\lambda_2),\,\ldots,\,J_{1}(\lambda_1)\Bigr).[/math]

2. Хотя жорданова матрица в общем случае не диагональная, для нее достаточно просто решаются типовые задачи линейной алгебры. Например, для неоднородной системы уравнений [math]Jx=b[/math] с невырожденной матрицей [math]J=J_n(\lambda_0)[/math] можно сразу записать решение:


[math]x_n=\frac{b_n}{\lambda_0}\,,\quad x_{n-1}=\frac{b_{n-1}-x_n}{\lambda_0}\,,\quad\ldots\,,\quad x_1=\frac{b_1-x_2}{\lambda_0}\,.[/math]

3. Для решения тех или иных задач линейной алгебры используются различные простые виды квадратных матриц, которые обычно называют нормальными, или каноническими формами, например, первая и вторая естественные формы матрицы, вещественная жорданова форма. Матрицу (7.38) называют также канонической формой.




Пример 7.13. Найти элементарные делители и инвариантные множители жордановых матриц


[math]A=\begin{pmatrix}1\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0&0\\\hline 0\!\!&\vline\!\!&2\!\!&\vline\!\!&0&0\\\hline 0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&3&1\\ 0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0&3 \end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix} 1&1\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&2 \end{pmatrix}\!,\quad C= \begin{pmatrix}1&1\!\!&\vline\!\!&0&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&1&1\\ 0&0\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A=\operatorname{diag} \Bigl(J_1(1),\,J_1(2),\, J_2(3)\Bigr)[/math] состоит из трех жордановых клеток с разными собственными значениями [math]\lambda_1=1,[/math] [math]\lambda_2=2,[/math] [math]\lambda_3=3[/math]. Для каждого собственного значения запишем жорданову клетку и соответствующий элементарный делитель:


[math]\begin{array}{lllll}\lambda_1=1&\quad \Rightarrow&\quad J_1(1)&\quad \Rightarrow& \quad (\lambda-1);\\[2pt] \lambda_2=2&\quad \Rightarrow&\quad J_1(2)&\quad \Rightarrow& \quad (\lambda-2);\\[2pt] \lambda_3=3&\quad \Rightarrow&\quad J_2(3)&\quad \Rightarrow& \quad (\lambda-3)^2. \end{array}[/math]

Получили таблицу элементарных делителей, которая состоит из одного столбца. По этой таблице составляем инвариантные множители (количество которых равно порядку матрицы [math]A[/math]). Записываем последний инвариантный множитель [math]e_4(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda-1)(\lambda-2)[/math], перемножая элементарные делители первого столбца. Поскольку исчерпаны все элементарные делители (второго столбца в таблице нет), то остальные инвариантные множители полагаем равными единице: [math]e_3(\lambda)= e_2(\lambda)= e_1(\lambda)=1[/math].


Матрица [math]B=\operatorname{diag} \Bigl(J_2(1),\, J_1(1),\,J_1(2)\Bigr)[/math] состоит из трех жордановых клеток, соответствующих двум разным собственным значениям [math]\lambda_1=1,[/math] [math]\lambda_2=2[/math].


Для каждого собственного значения записываем соответствующие жордановы клетки и элементарные делители:


[math]\begin{array}{lllll}\lambda_1=1&\quad \Rightarrow& \quad J_2(1),\,J_1(1)&\quad \Rightarrow&\quad (\lambda-1)^2,\,(\lambda-1);\\[2pt] \lambda_2=2&\quad \Rightarrow& \quad J_1(2)&\quad \Rightarrow&\quad (\lambda-2). \end{array}[/math]

Получили таблицу элементарных делителей, которая состоит из двух столбцов. По этой таблице составляем инвариантные множители (количество которых равно порядку матрицы [math]B[/math]). Записываем последний инвариантный множитель [math]e_4(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)[/math], перемножая элементарные делители первого столбца. Записываем предпоследний инвариантный множитель [math]e_3(\lambda)=\lambda-1[/math] по второму столбцу таблицы. Поскольку исчерпаны все элементарные делители (третьего столбца в таблице нет), то остальные инвариантные множители полагаем равными единице: [math]e_2(\lambda)=e_1(\lambda)=1[/math].


Матрица [math]C=\operatorname{diag}\Bigl(J_2(1),\,J_2(1)\Bigr)[/math] состоит из двух одинаковых жордановых клеток, соответствующих одному собственному значению [math]\lambda_1=1[/math]. Для этого собственного значения записываем жордановы клетки и соответствующие элементарные делители:


[math]\lambda_1=1\qquad \Rightarrow\qquad J_2(1),\,J_2(1)\qquad \Rightarrow\qquad (\lambda-1)^2,\,(\lambda-1)^2.[/math]

Получили таблицу элементарных делителей, которая состоит из двух столбцов. По этой таблице составляем инвариантные множители (количество которых равно порядку матрицы [math]C[/math]). Записываем последний инвариантный множитель [math]e_4(\lambda)=(\lambda-1)^2[/math] по первому столбцу таблицы. Записываем предпоследний инвариантный множитель [math]e_3(\lambda)=(\lambda-1)^2[/math] по второму столбцу таблицы. Поскольку исчерпаны все элементарные делители (третьего столбца в таблице нет), то остальные инвариантные множители полагаем равными единице: [math]e_2(\lambda)=e_1(\lambda)=1[/math].




Пример 7.14. По инвариантным множителям найти жорданову матрицу:


а) матрица [math]A\colon~ e_1(\lambda)= e_2(\lambda)=e_3(\lambda)=1,~ e_4(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)[/math];


б) матрица [math]B\colon~ e_1(\lambda)=e_2(\lambda)=1,~ e_3(\lambda)=(\lambda-1),~ e_4(\lambda)=(\lambda-1)^3[/math];


в) матрица [math]C\colon~ e_1(\lambda)=1,~ e_2(\lambda)=(\lambda-1),~ e_3(\lambda)=(\lambda-1),~ e_4(\lambda)=(\lambda-1)^2[/math].


Решение. Для матрицы [math]A[/math] составляем таблицу (7.34) элементарных делителей. В первый столбец таблицы записываем элементарные делители последнего инвариантного множителя:


[math](\lambda-1),\quad (\lambda-2),\quad (\lambda-3),\quad (\lambda-4).[/math]

Остальные элементарные делители равны единице и в таблицу не заносятся. Составляем по таблице элементарных делителей жорданову матрицу. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку: [math]J_1(1),[/math] [math]J_1(2),[/math] [math]J_1(3),[/math] [math]J_1(4)\phantom{,}[/math]. Располагая эти клетки на главной диагонали блочной матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:


[math]A=\begin{pmatrix} 1\!\!&\vline\!\!& 0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0\!\!&\vline\!\!& 2\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0\!\!&\vline\!\!& 0\!\!&\vline\!\!&3\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0\!\!&\vline\!\!& 0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&4 \end{pmatrix}\!.[/math]

Для матрицы [math]B[/math] составляем таблицу (7.34) элементарных делителей. В первый столбец таблицы записываем единственный элементарный делитель последнего инвариантного множителя [math]e_4(\lambda)[/math], во второй столбец — предпоследнего инвариантного множителя [math]e_3(\lambda):[/math]


[math](\lambda-1)^3,\qquad (\lambda-1).[/math]

Инвариантные множители [math]e_1(\lambda)=e_2(\lambda)=1[/math] не содержат элементарных делителей, отличных от единицы, и поэтому в таблицу не записываются. Составляем по таблице элементарных делителей жорданову матрицу. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку: [math]J_3(1),~J_1(1)[/math]. Располагая эти клетки на главной диагонали блочной матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:


[math]B=\begin{pmatrix}1&1&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1&1\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&0&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0&1\!\!&\vline\!\!&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Для матрицы [math]C[/math] составляем таблицу (7.34) элементарных делителей. В первый столбец таблицы записываем единственный элементарный делитель последнего инвариантного множителя [math]e_3(\lambda)[/math], второй столбец — предпоследнего инвариантного множителя [math]e_3(\lambda)[/math], в третий столбец — [math]e_2(\lambda):[/math]


[math](\lambda-1)^2,\qquad (\lambda-1),\qquad (\lambda-1).[/math]

Инвариантный множитель [math]e_1(\lambda)=1[/math] не содержит элементарных делителей, отличных от единицы, и поэтому в таблицу не записывается. Составляем по таблице элементарных делителей жорданову матрицу. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку: [math]J_2(1),J_1(1),J_1(1)[/math]. Располагая эти клетки на главной диагонали блочной матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:


[math]C=\begin{pmatrix} 1&1\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&1\!\!&\vline\!\!&0\\\hline 0&0\!\!&\vline\!\!&0\!\!&\vline\!\!&1 \end{pmatrix}\!.[/math]



Теорема 7.9 о приведении матрицы к нормальной жордановой форме. Любая квадратная матрица подобна жордановой матрице. Две жордановы матрицы подобны тогда и только тогда, когда они составлены из одинаковых жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением клеток на главной диагонали, другими словами, любую квадратную матрицу при помощи преобразования подобия можно привести к нормальной жордановой форме и притом единственной (с точностью до перестановок жордановых клеток).


В самом деле, для любой квадратной матрицы [math]A[/math] можно найти элементарные делители, т.е. составить таблицу (7.34). По элементарным делителям можно составить соответствующую жорданову матрицу [math]J_A[/math]. При этом матрицы [math]A[/math] и [math]J_A[/math] будут иметь одинаковые элементарные делители, что является критерием их подобия. Значит, найдется невырожденная преобразующая матрица [math]S[/math] такая, что [math]J_A=S^{-1}\Lambda S[/math]. Заметим, что жорданова форма [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] определяется по ее элементарным делителям единственным образом с точностью до перестановок жордановых клеток.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved