Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Зависимые и независимые случайные события

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей


Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теоремы сложения вероятностей


Найдем вероятность суммы событий [math]A[/math] и [math]B[/math] (в предположении их совместности либо несовместности).


Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:


[math]P\{A+B+\ldots+N\}=P\{A\}+P\{B\}+\ldots+P\{N\}.[/math]

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.


Решение. Искомое событие [math]D[/math] произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие [math]A[/math]) или 45-го (событие [math]B[/math]), или не меньше 46-го (событие [math]C[/math]), т. е. событие [math]D[/math] есть сумма событий [math]A,B,C[/math]. События [math]A[/math], [math]B[/math] и [math]C[/math] несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем


[math]P\{D\}=P\{A+B+C\}=P\{A\}+P\{B\}+P\{C\}=0,\!12+0,\!04+0,\!01[/math] [math]=0,\!17.[/math]

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.


Решение. События "очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера" и "будет продана пара обуви размера не меньше 44-го" противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события


[math]P\{\overline{D}\}=1-P\{D\}=1-0,\!17=0,\!83.[/math]

поскольку [math]P\{D\}=0,\!17[/math], как это было найдено в примере 1.


Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой "Electra Ltd" оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно [math]A,B,C[/math]. Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим [math]P\{A+B+C\}=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1[/math]. Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события [math]A,B,C[/math] являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.


Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).


Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:


[math]P\{A+B\}=P\{A\}+P\{B\}-P\{AB\}.[/math]



Зависимые и независимые события. Условная вероятность


Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.


Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие [math]A[/math]) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие [math]B[/math]). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые.


Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.


События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события [math]B[/math], вычисленная в предположении осуществления другого события [math]A[/math], называется условной вероятностью события [math]B[/math] и обозначается [math]P\{B|A\}[/math].


Условие независимости события [math]B[/math] от события [math]A[/math] записывают в виде [math]P\{B|A\}=P\{B\}[/math], а условие его зависимости — в виде [math]P\{B|A\}\ne{P\{B\}}[/math]. Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.




Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.


Решение. Обозначим [math]A[/math] извлечение изношенного резца в первом случае, а [math]\overline{A}[/math] — извлечение нового. Тогда [math]P\{A\}=\frac{2}{5},~P\{\overline{A}\}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}[/math]. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.


Обозначим [math]B[/math] событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:


[math]P\{B|A\}=\frac{1}{4},~~~P\{B|\overline{A}\}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.[/math]

Следовательно, вероятность события [math]B[/math] зависит от того, произошло или нет событие [math]A[/math].




Формулы умножения вероятностей


Пусть события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий [math]A[/math] и [math]B[/math].


Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:


[math]P\{AB\}=P\{A\}\cdot P\{B\}.[/math]

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:


[math]P\{A_1A_2\ldots{A_n}\}=P\{A_1\}P\{A_2\}\ldots{P\{A_n\}}.[/math]



Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.


Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие [math]A[/math]), [math]P\{A\}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/math]. Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие [math]B[/math]), [math]P\{B\}=\frac{7}{10}[/math]. Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие [math]C[/math]), [math]P\{C\}=\frac{9}{10}[/math]. Так как события [math]A[/math], [math]B[/math] и [math]C[/math] независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)


[math]P\{ABC\}=P\{A\}P\{B\}P\{C\}=\frac{4}{5}\frac{7}{10}\frac{9}{10}=0,\!504.[/math]

Пусть события [math]A[/math] и [math]B[/math] зависимые, причем вероятности [math]P\{A\}[/math] и [math]P\{B|A\}[/math] известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие [math]A[/math], и событие [math]B[/math].


Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:


[math]P\{AB\}=P\{A\}\cdot P\{B|A\};\qquad P\{AB\}=P\{B\}\cdot P\{A|B\}[/math]

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.




Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие [math]A[/math]), при втором — черный (событие [math]B[/math]) и при третьем — синий (событие [math]C[/math]).


Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании [math]P\{A\}=\frac{5}{12}[/math]. Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность [math]P\{B|A\}=\frac{4}{11}[/math]. Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, [math]P\{C|AB\}=\frac{3}{10}[/math]. Искомая вероятность


[math]P\{ABC\}=P\{A\}P\{B|A\}P\{C|AB\}=\frac{5}{12}\frac{4}{11}\frac{3}{10}.[/math]



Формула полной вероятности


Теорема 2.5. Если событие [math]A[/math] наступает только при условии появления одного из событий [math]B_1,B_2,\ldots{B_n}[/math], образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события [math]A[/math] равна сумме произведений вероятностей каждого из событий [math]B_1,B_2,\ldots{B_n}[/math] на соответствующую условную вероятность события [math]B_1,B_2,\ldots{B_n}[/math]:


[math]P\{A\}=\sum\limits_{i=1}^{n}P\{B_i\}P\{A|B_i\}.[/math]
(2.1)

При этом события [math]B_i,~i=1,\ldots,n[/math] называются гипотезами, а вероятности [math]P\{B_i\}[/math] — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.


Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.


Решение. Обозначим [math]A[/math] событие, означающее годность собранного узла; [math]B_1[/math], [math]B_2[/math] и [math]B_3[/math] — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда


[math]P\{B_1\}=0,\!5;~~~~~P\{B_2\}=0,\!3;~~~~~P\{B_3\}=0,\!2;[/math]
[math]P\{A|B_1\}=0,\!98;~~~P\{A|B_2\}=0,\!95;~~~P\{A|B_3\}=0,\!8.[/math]

Искомая вероятность


[math]\begin{gathered}P\{A\}=P\{B_1\}P\{A|B_1\}+P\{B_2\}P\{A|B_2\}+P\{B_3\}P\{A|B_3\}=\hfill\\=0,\!5\cdot0,\!98+0,\!3\cdot0,\!95+0,\!2\cdot0,\!8=0,\!935.\end{gathered}[/math]



Формула Байеса


Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие [math]A[/math], появляющееся совместно с каким-либо из событий [math]B_1,B_2,\ldots{B_n}[/math], образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез [math]B_1,B_2,\ldots{B_n}[/math]. Априорные (до опыта) вероятности [math]P\{B_1\},P\{B_2\},\ldots{P\{B_n\}}[/math] известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности [math]P\{B_1|A\},P\{B_2|A\},\ldots{P\{B_n|A\}}[/math]. Для гипотезы [math]B_j[/math] формула Байеса выглядит так:


[math]P\{B_j|A\}=\frac{P\{B_j\} P\{A|B_j\}}{P\{A\}}.[/math]

Раскрывая в этом равенстве [math]P\{A\}[/math] по формуле полной вероятности (2.1), получаем


[math]P\{B_j|A\}=\dfrac{P\{B_j\}P\{A|B_j\}}{\sum\limits_{i=1}^{n}P\{B_i\}P\{A|B_i\}}.[/math]



Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.


Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

для первого станка
[math]P\{B_1|A\}=\dfrac{P\{B_1\}P\{A|B_1\}}{P\{A\}}=\frac{0,\!5\cdot0,\!98}{0,\!935}\approx0,\!525;[/math]

для второго станка
[math]P\{B_2|A\}=\dfrac{P\{B_2\}P\{A|B_2\}}{P\{A\}}=\frac{0,\!3\cdot0,\!95}{0,\!935}\approx0,\!304;[/math]

для третьего станка
[math]P\{B_3|A\}=\dfrac{P\{B_3\}P\{A|B_3\}}{P\{A\}}=\frac{0,\!2\cdot0,\!8}{0,\!935}\approx0,\!171.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved