Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Задача о перпендикуляре

Задача о перпендикуляре


Пусть L — подпространство конечномерного евклидова пространство \mathbb{E}. Для любого вектора \boldsymbol{v}\in \mathbb{E} (по свойству 3 ортогонального дополнение существует единственное разложение:


\boldsymbol{v}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{h},\quad \boldsymbol{\ell}\in L,~ \boldsymbol{h}\in L^{\perp}.
(8.36)

Вектор \boldsymbol{l} называется ортогональной проекцией вектора \boldsymbol{v} на подпространство L, а вектор \boldsymbol{h} — ортогональной составляющей вектора \boldsymbol{v} относительно подпространства L. По аналогии с привычными терминами курса элементарной геометрии ортогональную составляющую \boldsymbol{h} называют перпендикуляром, опущенным из конца вектора \boldsymbol{v} на подпространство L. Из-за ортогональности составляющих \boldsymbol{l} и \boldsymbol{h} разложение (8.36) называют ортогональным.


Задача о перпендикуляре ставится следующим образом. В n-мерном евклидовом пространстве \mathbb{E} заданы вектор \boldsymbol{v}\in \mathbb{E} и подпространство L\triangleleft \mathbb{E}. Требуется найти ортогональную проекцию \boldsymbol{l}\in L вектора \boldsymbol{v} и его ортогональную составляющую (перпендикуляр) \boldsymbol{h}\in L^{\perp}, т.е. представить заданный вектор \boldsymbol{s} в виде (8.36).


Для решения задачи о перпендикуляре нужно выполнить следующие действия.


1. Взять любой базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r подпространства L (полагаем, что \dim{L}=r\leqslant n).


2. Составить неоднородную систему r уравнений с r неизвестными l_1,\ldots,l_r:


\begin{cases} \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2+ \ldots+ \langle \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_r \rangle\cdot l_r= \langle \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{v}\rangle,\\ \phantom{\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2} \vdots\\ \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2+ \ldots+ \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_r\rangle\cdot l_r= \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{v}\rangle. \end{cases}

3. Решить систему, составленную в пункте 2.


4. Найти ортогональную проекцию \boldsymbol{l}= l_1\cdot \boldsymbol{e}_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol{e}_r, a затем — ортогональную составляющую (перпендикуляр) \boldsymbol{h}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{l}.


Поясним алгоритм решения. Разложив ортогональную проекцию \boldsymbol{l}= l_1\cdot \boldsymbol{e}_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol{e}_r по базису подпространства, запишем ортогональную составляющую (перпендикуляр): \boldsymbol{h}=\boldsymbol{v}- \boldsymbol{l}= \boldsymbol{v}- l_1 \boldsymbol{e}_1-\ldots- l_r \boldsymbol{e}_r. Затем найдем ^ скалярные произведения \langle \boldsymbol{h}, \boldsymbol{e}_i\rangle,~ i=1,\ldots,r, умножая последнее равенство последовательно на \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r. Учитывая, что \langle \boldsymbol{h}, \boldsymbol{e}_i\rangle=9,~ i=1,\ldots,r, получаем систему из пункта 2 алгоритма. Заметим, что матрица полученной системы — это матрица Грама G(\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r) линейно независимой системы векторов (базиса) \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r. По свойству 1 определителя Грама \det G(\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r)\ne o, значит, рассматриваемая система имеет единственное решение.




Пример 8.20. В пространстве \mathbb{R}^4 со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор v=\begin{pmatrix}-3&2&0&0 \end{pmatrix}^T и подпространство L — множество решений однородной системы


\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}

Требуется найти ортогональную проекцию l\in L и ортогональную составляющую h\in L^{\perp} вектора \boldsymbol{v} относительно подпространства L.


Решение. 1. Базис подпространства был найден в примере 8.9:


L=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2), где \varphi_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2=\begin{pmatrix} -2&1&0&1\end{pmatrix}^T.

2. Вычисляем скалярные произведения


\begin{array}{ll}\langle \varphi_1,\varphi_1\rangle= (-6)^2+4^2+1^2+0^2=53;&\quad \langle \varphi_1,\varphi_2\rangle= (-6)\cdot(-2)+4\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=16;\\[5pt] \langle \varphi_2,\varphi_2\rangle= (-2)^2+1^2+0^2+1^2=6;&\quad \langle \varphi_1,\boldsymbol{v}\rangle= (-6)\cdot(-3)+4\cdot2+1\cdot0+0\cdot0=26;\\[5pt] \langle \varphi_2,\boldsymbol{v}\rangle= (-2)\cdot(-3)+1\cdot2+0\cdot0+1\cdot0=8;&\quad \langle \varphi_2,\varphi_1\rangle=\langle \varphi_1,\varphi_2\rangle=16 \end{array}

и составляем неоднородную систему \begin{cases}53\cdot l_1+16\cdot l_2=26,\\ 16\cdot l_1+6\cdot l_2=8. \end{cases}


3. Решаем систему по правилу Крамера:


l_1=\frac{26\cdot6-16\cdot8}{53\cdot6-16\cdot16}=\frac{28}{62}=\frac{14}{31}\,;\quad l_2=\frac{53\cdot8-16\cdot26}{53\cdot6-16\cdot16}=\frac{8}{62}=\frac{4}{31}\,.

4. Находим ортогональную проекцию и ортогональную составляющую


l=\frac{14}{31}\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ \frac{4}{31}\! \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-92\\60\\14\\4\end{pmatrix}\!,\quad h= \begin{pmatrix} -3\\2\\0\\0\end{pmatrix}- \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix} -92\\60\\14\\4 \end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-1\\2\\-14\\-4\end{pmatrix}\!.

Проверим ортогональность составляющих:


\langle l,h\rangle= \frac{1}{31^2}\Bigl[(-92)\cdot(-1)+ 60\cdot2+ 14\cdot(-14)+ 4\cdot(-4)\Bigr]=0.



Замечания 8.14


1. Из теоремы Пифагора |\boldsymbol{v}|^2= |\boldsymbol{l}|^2+|\boldsymbol{h}|^2 следуют неравенства: |\boldsymbol{l}|\leqslant|\boldsymbol{v}|, |\boldsymbol{h}| \leqslant|\boldsymbol{v}|. Равенства возможны только тогда, когда \boldsymbol{v}\in L или \boldsymbol{v}\perp L соответственно. В остальных случаях неравенства строгие, т.е. получаем утверждения, знакомые читателю из курса геометрии: |\boldsymbol{l}|<|\boldsymbol{v}| — проекция меньше наклонной, |\boldsymbol{h}|<|\boldsymbol{v}|, — перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от конца вектора \boldsymbol{v} до подпространства L.


2. Для одномерного подпространства L=\operatorname{Lin}(\boldsymbol{e}) составляющую \boldsymbol{l}\in L в разложении (8.36) называют ортогональной проекцией на ось, задаваемую вектором \boldsymbol{e} (или на направление, задаваемое вектором \boldsymbol{e}). Если ось задается единичным вектором (|\boldsymbol{e}|=1), то длина ортогональной проекции равна l=|\boldsymbol{l}|=\langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{e} \rangle.


3. Если в подпространстве L взять ортонормированный базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r, то квадрат длины вектора \boldsymbol{l} можно вычислить по формуле |\boldsymbol{l}|^2= l_1^2+\ldots+l_r^2, где l_r=\langle \boldsymbol{l} ,\boldsymbol{e}_i\rangle,~ i=1,\ldots,r. Тогда из неравенства (см. пункт 1) |\boldsymbol{l}|< |\boldsymbol{v}| следует неравенство Бесселя:


\sum_{i=1}^{r}l_i^2\leqslant|\boldsymbol{v}|^2

т.е. квадрат длины вектора не меньше суммы квадратов длин его проекций на любые r взаимно ортогональных направлений.


4. В процессе ортогонализации системы векторов \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots,\boldsymbol{v}_r на каждом шаге фактически решается задача о перпендикуляре. Например, на j-м шаге находится ортогональная составляющая \boldsymbol{w}_j вектора \boldsymbol{v}_j относительно подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_{j-1}) (см. пункт 1 замечаний 8.11).


5. В приложениях приходится также рассматривать задачу о перпендикуляре не для подпространства, а для многообразия. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы вектор \boldsymbol{v}\in\mathbb{E} и многообразие \boldsymbol{v}_0+L (рис. 8.4,а). Требуется найти разложение \boldsymbol{v}= \boldsymbol{m}+\boldsymbol{h}, где \boldsymbol{m}\in \boldsymbol{v}_0+L,~ \boldsymbol{y}\in L^{\perp}. Здесь \boldsymbol{h} — перпендикуляр, опущенный из конца вектора \boldsymbol{v} на многообразие \boldsymbol{v}_0+L. Заметим, что составляющие \boldsymbol{m} и \boldsymbol{h} в общем случае не ортогональны.


Поставленная задача сводится к задаче нахождения ортогональной проекции \boldsymbol{l}=\boldsymbol{m}-\boldsymbol{v}_0 и ортогональной составляющей \boldsymbol{h} вектора \boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_0 относительно подпространства L (см. рис. 8.4,б). Найдя ортогональное разложение \boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_0=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{h}, можно получить и искомое разложение \boldsymbol{v}=\boldsymbol{m}+ \boldsymbol{h}, где \boldsymbol{m}=\boldsymbol{l}+ \boldsymbol{v}_0.


Вектор и многообразие в п -мерном евклидовом пространстве



Пример 8.21. В пространстве \mathbb{R}^4 со стандартным скалярным произведением (8.27) задано линейное многообразие M=\{Ax=b\} — множество решений неоднородной системы:


\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1. \end{cases}

Требуется найти разложение нулевого вектора \boldsymbol{o}=\boldsymbol{m}+ \boldsymbol{h}, где \boldsymbol{m}\in M, а вектор \boldsymbol{h} перпендикулярен однородной части многообразия M.


Решение. В примере 5.5 была получена структура общего решения заданной неоднородной системы уравнений


x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!.

где C_1,\,C_2 — произвольные постоянные. Отсюда следует (см. решение при мера 8.16), что многообразие M можно представить в виде M=x^H+L, где L=\{Ax=o\} — множество решений соответствующей однородной системы. Учитывая пункт 5 замечаний 8.14 (v_0=x^H,~v=o), сформулируем задачу о перпендикуляре: для вектора v-v_0=o-x^H= \begin{pmatrix}-3&2&0&0\end{pmatrix}^T найти ортогональную проекцию l и ортогональную составляющую h относительно подпространства L=\{Ax=o\}. Эта задача была решена в примере 8.20. По этому осталось записать искомые составляющие m и h нулевого вектора o=m+h:


m=l+x^H= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-92\\60\\14\\4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0 \end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}1\\-2\\14\\4\end{pmatrix}\!,\quad h=\frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-1\\2\\-14\\-4 \end{pmatrix}\!.

Равенство m=-h в данном случае может служить для контроля вычислений. Обратим внимание, что составляющая т является решением неоднородной системы уравнений. Причем это решение "ближайшее" к нулевому вектору, т.е. имеет наименьшую длину. Такие решения ранее назывались псевдорешениями. Поэтому полученная в данном примере составляющая m совпадает с псевдорешением, найденным в примере 5.8.


См. также Метрические приложения определителя Грама

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved