Задача о перпендикуляре
Пусть — подпространство конечномерного евклидова пространство . Для любого вектора (по свойству 3 ортогонального дополнение существует единственное разложение:
(8.36)
Вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , а вектор — ортогональной составляющей вектора относительно подпространства . По аналогии с привычными терминами курса элементарной геометрии ортогональную составляющую называют перпендикуляром, опущенным из конца вектора на подпространство . Из-за ортогональности составляющих и разложение (8.36) называют ортогональным.
Задача о перпендикуляре ставится следующим образом. В n-мерном евклидовом пространстве заданы вектор и подпространство . Требуется найти ортогональную проекцию вектора и его ортогональную составляющую (перпендикуляр) , т.е. представить заданный вектор в виде (8.36).
Для решения задачи о перпендикуляре нужно выполнить следующие действия.
1. Взять любой базис подпространства (полагаем, что ).
2. Составить неоднородную систему уравнений с неизвестными
3. Решить систему, составленную в пункте 2.
4. Найти ортогональную проекцию , a затем — ортогональную составляющую (перпендикуляр) .
Поясним алгоритм решения. Разложив ортогональную проекцию по базису подпространства, запишем ортогональную составляющую (перпендикуляр): . Затем найдем ^ скалярные произведения , умножая последнее равенство последовательно на . Учитывая, что , получаем систему из пункта 2 алгоритма. Заметим, что матрица полученной системы — это матрица Грама линейно независимой системы векторов (базиса) . По свойству 1 определителя Грама , значит, рассматриваемая система имеет единственное решение.
Пример 8.20. В пространстве со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор и подпространство — множество решений однородной системы
Требуется найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора относительно подпространства .
Решение. 1. Базис подпространства был найден в примере 8.9:
где
2. Вычисляем скалярные произведения
и составляем неоднородную систему
3. Решаем систему по правилу Крамера:
4. Находим ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Проверим ортогональность составляющих:
Замечания 8.14
1. Из теоремы Пифагора следуют неравенства: . Равенства возможны только тогда, когда или соответственно. В остальных случаях неравенства строгие, т.е. получаем утверждения, знакомые читателю из курса геометрии: — проекция меньше наклонной, — перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от конца вектора до подпространства .
2. Для одномерного подпространства составляющую в разложении (8.36) называют ортогональной проекцией на ось, задаваемую вектором (или на направление, задаваемое вектором ). Если ось задается единичным вектором , то длина ортогональной проекции равна .
3. Если в подпространстве взять ортонормированный базис , то квадрат длины вектора можно вычислить по формуле , где . Тогда из неравенства (см. пункт 1) следует неравенство Бесселя:
т.е. квадрат длины вектора не меньше суммы квадратов длин его проекций на любые взаимно ортогональных направлений.
4. В процессе ортогонализации системы векторов на каждом шаге фактически решается задача о перпендикуляре. Например, на j-м шаге находится ортогональная составляющая вектора относительно подпространства (см. пункт 1 замечаний 8.11).
5. В приложениях приходится также рассматривать задачу о перпендикуляре не для подпространства, а для многообразия. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы вектор и многообразие (рис. 8.4,а). Требуется найти разложение , где . Здесь — перпендикуляр, опущенный из конца вектора на многообразие . Заметим, что составляющие и в общем случае не ортогональны.
Поставленная задача сводится к задаче нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора относительно подпространства (см. рис. 8.4,б). Найдя ортогональное разложение , можно получить и искомое разложение , где .
Пример 8.21. В пространстве со стандартным скалярным произведением (8.27) задано линейное многообразие — множество решений неоднородной системы:
Требуется найти разложение нулевого вектора , где , а вектор перпендикулярен однородной части многообразия .
Решение. В примере 5.5 была получена структура общего решения заданной неоднородной системы уравнений
где — произвольные постоянные. Отсюда следует (см. решение при мера 8.16), что многообразие можно представить в виде , где — множество решений соответствующей однородной системы. Учитывая пункт 5 замечаний 8.14 , сформулируем задачу о перпендикуляре: для вектора найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую относительно подпространства . Эта задача была решена в примере 8.20. По этому осталось записать искомые составляющие и нулевого вектора
Равенство в данном случае может служить для контроля вычислений. Обратим внимание, что составляющая т является решением неоднородной системы уравнений. Причем это решение "ближайшее" к нулевому вектору, т.е. имеет наименьшую длину. Такие решения ранее назывались псевдорешениями. Поэтому полученная в данном примере составляющая совпадает с псевдорешением, найденным в примере 5.8.
См. также Метрические приложения определителя Грама
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|