Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Задача о перпендикуляре

Задача о перпендикуляре


Пусть [math]L[/math] — подпространство конечномерного евклидова пространство [math]\mathbb{E}[/math]. Для любого вектора [math]\boldsymbol{v}\in \mathbb{E}[/math] (по свойству 3 ортогонального дополнение существует единственное разложение:


[math]\boldsymbol{v}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{h},\quad \boldsymbol{\ell}\in L,~ \boldsymbol{h}\in L^{\perp}.[/math]
(8.36)

Вектор [math]\boldsymbol{l}[/math] называется ортогональной проекцией вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] на подпространство [math]L[/math], а вектор [math]\boldsymbol{h}[/math] — ортогональной составляющей вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] относительно подпространства [math]L[/math]. По аналогии с привычными терминами курса элементарной геометрии ортогональную составляющую [math]\boldsymbol{h}[/math] называют перпендикуляром, опущенным из конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] на подпространство [math]L[/math]. Из-за ортогональности составляющих [math]\boldsymbol{l}[/math] и [math]\boldsymbol{h}[/math] разложение (8.36) называют ортогональным.


Задача о перпендикуляре ставится следующим образом. В n-мерном евклидовом пространстве [math]\mathbb{E}[/math] заданы вектор [math]\boldsymbol{v}\in \mathbb{E}[/math] и подпространство [math]L\triangleleft \mathbb{E}[/math]. Требуется найти ортогональную проекцию [math]\boldsymbol{l}\in L[/math] вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] и его ортогональную составляющую (перпендикуляр) [math]\boldsymbol{h}\in L^{\perp}[/math], т.е. представить заданный вектор [math]\boldsymbol{s}[/math] в виде (8.36).


Для решения задачи о перпендикуляре нужно выполнить следующие действия.


1. Взять любой базис [math]\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r[/math] подпространства [math]L[/math] (полагаем, что [math]\dim{L}=r\leqslant n[/math]).


2. Составить неоднородную систему [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными [math]l_1,\ldots,l_r:[/math]


[math]\begin{cases} \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2+ \ldots+ \langle \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_r \rangle\cdot l_r= \langle \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{v}\rangle,\\ \phantom{\langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2} \vdots\\ \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_1\rangle\cdot l_1+ \langle \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_2\rangle\cdot l_2+ \ldots+ \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_r\rangle\cdot l_r= \langle \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{v}\rangle. \end{cases}[/math]

3. Решить систему, составленную в пункте 2.


4. Найти ортогональную проекцию [math]\boldsymbol{l}= l_1\cdot \boldsymbol{e}_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol{e}_r[/math], a затем — ортогональную составляющую (перпендикуляр) [math]\boldsymbol{h}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{l}[/math].


Поясним алгоритм решения. Разложив ортогональную проекцию [math]\boldsymbol{l}= l_1\cdot \boldsymbol{e}_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol{e}_r[/math] по базису подпространства, запишем ортогональную составляющую (перпендикуляр): [math]\boldsymbol{h}=\boldsymbol{v}- \boldsymbol{l}= \boldsymbol{v}- l_1 \boldsymbol{e}_1-\ldots- l_r \boldsymbol{e}_r[/math]. Затем найдем ^ скалярные произведения [math]\langle \boldsymbol{h}, \boldsymbol{e}_i\rangle,~ i=1,\ldots,r[/math], умножая последнее равенство последовательно на [math]\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r[/math]. Учитывая, что [math]\langle \boldsymbol{h}, \boldsymbol{e}_i\rangle=9,~ i=1,\ldots,r[/math], получаем систему из пункта 2 алгоритма. Заметим, что матрица полученной системы — это матрица Грама [math]G(\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r)[/math] линейно независимой системы векторов (базиса) [math]\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r[/math]. По свойству 1 определителя Грама [math]\det G(\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_r)\ne o[/math], значит, рассматриваемая система имеет единственное решение.




Пример 8.20. В пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=\begin{pmatrix}-3&2&0&0 \end{pmatrix}^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество решений однородной системы


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. \end{cases}[/math]

Требуется найти ортогональную проекцию [math]l\in L[/math] и ортогональную составляющую [math]h\in L^{\perp}[/math] вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] относительно подпространства [math]L[/math].


Решение. 1. Базис подпространства был найден в примере 8.9:


[math]L=\operatorname{Lin}(\varphi_1,\varphi_2),[/math] где [math]\varphi_1= \begin{pmatrix}-6&4&1&0\end{pmatrix}^T,\quad \varphi_2=\begin{pmatrix} -2&1&0&1\end{pmatrix}^T.[/math]

2. Вычисляем скалярные произведения


[math]\begin{array}{ll}\langle \varphi_1,\varphi_1\rangle= (-6)^2+4^2+1^2+0^2=53;&\quad \langle \varphi_1,\varphi_2\rangle= (-6)\cdot(-2)+4\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=16;\\[5pt] \langle \varphi_2,\varphi_2\rangle= (-2)^2+1^2+0^2+1^2=6;&\quad \langle \varphi_1,\boldsymbol{v}\rangle= (-6)\cdot(-3)+4\cdot2+1\cdot0+0\cdot0=26;\\[5pt] \langle \varphi_2,\boldsymbol{v}\rangle= (-2)\cdot(-3)+1\cdot2+0\cdot0+1\cdot0=8;&\quad \langle \varphi_2,\varphi_1\rangle=\langle \varphi_1,\varphi_2\rangle=16 \end{array}[/math]

и составляем неоднородную систему [math]\begin{cases}53\cdot l_1+16\cdot l_2=26,\\ 16\cdot l_1+6\cdot l_2=8. \end{cases}[/math]


3. Решаем систему по правилу Крамера:


[math]l_1=\frac{26\cdot6-16\cdot8}{53\cdot6-16\cdot16}=\frac{28}{62}=\frac{14}{31}\,;\quad l_2=\frac{53\cdot8-16\cdot26}{53\cdot6-16\cdot16}=\frac{8}{62}=\frac{4}{31}\,.[/math]

4. Находим ортогональную проекцию и ортогональную составляющую


[math]l=\frac{14}{31}\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ \frac{4}{31}\! \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\1\end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-92\\60\\14\\4\end{pmatrix}\!,\quad h= \begin{pmatrix} -3\\2\\0\\0\end{pmatrix}- \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix} -92\\60\\14\\4 \end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-1\\2\\-14\\-4\end{pmatrix}\!.[/math]

Проверим ортогональность составляющих:


[math]\langle l,h\rangle= \frac{1}{31^2}\Bigl[(-92)\cdot(-1)+ 60\cdot2+ 14\cdot(-14)+ 4\cdot(-4)\Bigr]=0.[/math]



Замечания 8.14


1. Из теоремы Пифагора [math]|\boldsymbol{v}|^2= |\boldsymbol{l}|^2+|\boldsymbol{h}|^2[/math] следуют неравенства: [math]|\boldsymbol{l}|\leqslant|\boldsymbol{v}|,[/math] [math]|\boldsymbol{h}| \leqslant|\boldsymbol{v}|[/math]. Равенства возможны только тогда, когда [math]\boldsymbol{v}\in L[/math] или [math]\boldsymbol{v}\perp L[/math] соответственно. В остальных случаях неравенства строгие, т.е. получаем утверждения, знакомые читателю из курса геометрии: [math]|\boldsymbol{l}|<|\boldsymbol{v}|[/math] — проекция меньше наклонной, [math]|\boldsymbol{h}|<|\boldsymbol{v}|,[/math] — перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math].


2. Для одномерного подпространства [math]L=\operatorname{Lin}(\boldsymbol{e})[/math] составляющую [math]\boldsymbol{l}\in L[/math] в разложении (8.36) называют ортогональной проекцией на ось, задаваемую вектором [math]\boldsymbol{e}[/math] (или на направление, задаваемое вектором [math]\boldsymbol{e}[/math]). Если ось задается единичным вектором [math](|\boldsymbol{e}|=1)[/math], то длина ортогональной проекции равна [math]l=|\boldsymbol{l}|=\langle \boldsymbol{l}, \boldsymbol{e} \rangle[/math].


3. Если в подпространстве [math]L[/math] взять ортонормированный базис [math]\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r[/math], то квадрат длины вектора [math]\boldsymbol{l}[/math] можно вычислить по формуле [math]|\boldsymbol{l}|^2= l_1^2+\ldots+l_r^2[/math], где [math]l_r=\langle \boldsymbol{l} ,\boldsymbol{e}_i\rangle,~ i=1,\ldots,r[/math]. Тогда из неравенства (см. пункт 1) [math]|\boldsymbol{l}|< |\boldsymbol{v}|[/math] следует неравенство Бесселя:


[math]\sum_{i=1}^{r}l_i^2\leqslant|\boldsymbol{v}|^2[/math]

т.е. квадрат длины вектора не меньше суммы квадратов длин его проекций на любые [math]r[/math] взаимно ортогональных направлений.

4. В процессе ортогонализации системы векторов [math]\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots,\boldsymbol{v}_r[/math] на каждом шаге фактически решается задача о перпендикуляре. Например, на j-м шаге находится ортогональная составляющая [math]\boldsymbol{w}_j[/math] вектора [math]\boldsymbol{v}_j[/math] относительно подпространства [math]\operatorname{Lin} (\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_{j-1})[/math] (см. пункт 1 замечаний 8.11).


5. В приложениях приходится также рассматривать задачу о перпендикуляре не для подпространства, а для многообразия. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы вектор [math]\boldsymbol{v}\in\mathbb{E}[/math] и многообразие [math]\boldsymbol{v}_0+L[/math] (рис. 8.4,а). Требуется найти разложение [math]\boldsymbol{v}= \boldsymbol{m}+\boldsymbol{h}[/math], где [math]\boldsymbol{m}\in \boldsymbol{v}_0+L,~ \boldsymbol{y}\in L^{\perp}[/math]. Здесь [math]\boldsymbol{h}[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]\boldsymbol{v}[/math] на многообразие [math]\boldsymbol{v}_0+L[/math]. Заметим, что составляющие [math]\boldsymbol{m}[/math] и [math]\boldsymbol{h}[/math] в общем случае не ортогональны.


Поставленная задача сводится к задаче нахождения ортогональной проекции [math]\boldsymbol{l}=\boldsymbol{m}-\boldsymbol{v}_0[/math] и ортогональной составляющей [math]\boldsymbol{h}[/math] вектора [math]\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_0[/math] относительно подпространства [math]L[/math] (см. рис. 8.4,б). Найдя ортогональное разложение [math]\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_0=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{h}[/math], можно получить и искомое разложение [math]\boldsymbol{v}=\boldsymbol{m}+ \boldsymbol{h}[/math], где [math]\boldsymbol{m}=\boldsymbol{l}+ \boldsymbol{v}_0[/math].


Вектор и многообразие в п -мерном евклидовом пространстве



Пример 8.21. В пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) задано линейное многообразие [math]M=\{Ax=b\}[/math] — множество решений неоднородной системы:


[math]\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1,\\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1. \end{cases}[/math]

Требуется найти разложение нулевого вектора [math]\boldsymbol{o}=\boldsymbol{m}+ \boldsymbol{h}[/math], где [math]\boldsymbol{m}\in M[/math], а вектор [math]\boldsymbol{h}[/math] перпендикулярен однородной части многообразия [math]M[/math].


Решение. В примере 5.5 была получена структура общего решения заданной неоднородной системы уравнений


[math]x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}3\\-2\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\cdot\! \begin{pmatrix}-6\\4\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\cdot\! \begin{pmatrix} -2\\1\\0\\1 \end{pmatrix}\!.[/math]

где [math]C_1,\,C_2[/math] — произвольные постоянные. Отсюда следует (см. решение при мера 8.16), что многообразие [math]M[/math] можно представить в виде [math]M=x^H+L[/math], где [math]L=\{Ax=o\}[/math] — множество решений соответствующей однородной системы. Учитывая пункт 5 замечаний 8.14 [math](v_0=x^H,~v=o)[/math], сформулируем задачу о перпендикуляре: для вектора [math]v-v_0=o-x^H= \begin{pmatrix}-3&2&0&0\end{pmatrix}^T[/math] найти ортогональную проекцию [math]l[/math] и ортогональную составляющую [math]h[/math] относительно подпространства [math]L=\{Ax=o\}[/math]. Эта задача была решена в примере 8.20. По этому осталось записать искомые составляющие [math]m[/math] и [math]h[/math] нулевого вектора [math]o=m+h:[/math]


[math]m=l+x^H= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-92\\60\\14\\4\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0 \end{pmatrix}= \frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}1\\-2\\14\\4\end{pmatrix}\!,\quad h=\frac{1}{31}\! \begin{pmatrix}-1\\2\\-14\\-4 \end{pmatrix}\!.[/math]

Равенство [math]m=-h[/math] в данном случае может служить для контроля вычислений. Обратим внимание, что составляющая т является решением неоднородной системы уравнений. Причем это решение "ближайшее" к нулевому вектору, т.е. имеет наименьшую длину. Такие решения ранее назывались псевдорешениями. Поэтому полученная в данном примере составляющая [math]m[/math] совпадает с псевдорешением, найденным в примере 5.8.




См. также Метрические приложения определителя Грама


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved