Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Задача о минимуме кратного интеграла

Задача о минимуме кратного интеграла


В этом разделе мы рассмотрим одну из важных задач вариационного исчисления — это задача о минимуме кратного интеграла. Так как факты, связанные с решением таких задач, сходны для интегралов любой кратности, мы остановимся на наиболее простом из кратных интегралов — двойном интеграле.


Пусть B есть область плоскости Oxy, ограниченная контуром l. Множество допустимых к сравнению функций определим условиями:


1) u(x,y) непрерывно дифференцируема в области B;

2) u на l принимает заданные значения


u\,\vline\,_l=f(M).~~~~~~~~~~(22)

Среди всех функций и нужно найти ту, которая дает минимальное значение интегралу


I(x)=\iint\limits_{B}F(x,y,u,u'_x,u'_y)\,dx\,dy.~~~~~~~~~(23)

Задание граничных значений (22) для функции u в пространстве (x,y,u) означает задание пространственного контура \Gamma, лежащего над l.


Мы рассматриваем всевозможные поверхности S, проходящие через \Gamma и лежащие над B. Среди них хотим найти ту, для которой интеграл (23) будет минимальным.


По-прежнему считаем функцию, дающую минимум интегралу, существующей; обозначим ее через {u}. Одновременно рассмотрим другую функцию


\overline{u}=u+\alpha\eta(x,y)

где \eta(x,y) — любая непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на l. Тогда функция


I(\overline{u})=\iint\limits_{B}F(x,y,u+\alpha\eta,u'_x+\alpha\eta'_x,u'_y+\alpha\eta'_y)\,dx\,dy=\Phi(x)

должна иметь минимум при \alpha=0. В таком случае первая производная от нее должна обращаться в нуль при \alpha=0


\Phi'(0)=0,
или
\iint\limits_{B}(F'_u\eta+F'_{u'_x}\eta'_x+F'_{u'_y}\eta'_y)\,dx\,dy=0.~~~~~~~~~(24)

Преобразуем два последние слагаемые при помощи формулы Остроградского.


\begin{gathered} \iint\limits_{B}(F'_{u'_x}\eta'_x+F'_{u'_y}\eta'_y)\,dx\,dy= \iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}(F'_{u'_x}\eta)+ \frac{\partial}{\partial y}(F'_{u'_y}\eta)\right]\!dx\,dy-\iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}+\frac{\partial}{\partial y}F'_{u'_y}\right]\!\eta\,dx\,dy=\\[2pt] =\int\limits_{l}[F'_{u'_x}\cos(n,x)+F'_{u'_y}\cos(n,y)]\eta\,ds-\iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}+ \frac{\partial}{\partial y}F'_{u'_y}\right]\!\eta\,dx\,dy. \end{gathered}

Контурный интеграл по l должен исчезнуть, так как на контуре l функция \eta равна нулю, и условию (24) мы можем придать форму


\iint\limits_{B}\!\left[F'_u-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}-\frac{\partial}{\partial x}F_{u'_x}\right]\!\eta\,dx\,dy=0.

Это равенство должно быть выполнено для всякой функции \eta, непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на границе l.


Отсюда, подобно предыдущему, можно заключить, что во всех точках области B должно быть выполнено уравнение


F'_u-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}=0.~~~~~~~~~(25)

Таким образом, если функция и дает минимум интегралу (23), то она должна удовлетворять уравнению (25) в частных производных.


Как и во всех предшествующих задачах, здесь устанавливается связь между вариационной проблемой о минимуме интеграла и граничной задачей дифференциального уравнения (в данном случае — уравнения в частных производных).




Пример. Отклонение u(x,y) точек мембраны с деформированным краем должно быть найдено из условия минимума потенциальной энергии


\frac{\mu}{2}\iint\limits_{B}(u_x^{\prime2}+u_y^{\prime2})\,dx\,dy

при заданных граничных значениях u\,\vline\,_l=\varphi.


Опуская для простоты постоянный множитель \mu, можно считать


F=\frac{1}{2}(u_x^{\prime2}+u_y^{\prime2}),

и уравнение (25) будет иметь вид


-\frac{\partial}{\partial x}\,u'_x-\frac{\partial}{\partial y}\,u'_y=0
или
\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.

Следовательно, определение отклонений точек мембраны приводится к нахождению гармонической функции u, принимающей на контуре области заданные значения \varphi.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved