Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Задача о минимуме кратного интеграла

Задача о минимуме кратного интеграла


В этом разделе мы рассмотрим одну из важных задач вариационного исчисления — это задача о минимуме кратного интеграла. Так как факты, связанные с решением таких задач, сходны для интегралов любой кратности, мы остановимся на наиболее простом из кратных интегралов — двойном интеграле.


Пусть [math]B[/math] есть область плоскости [math]Oxy[/math], ограниченная контуром [math]l[/math]. Множество допустимых к сравнению функций определим условиями:


1) [math]u(x,y)[/math] непрерывно дифференцируема в области [math]B[/math];

2) [math]u[/math] на [math]l[/math] принимает заданные значения


[math]u\,\vline\,_l=f(M).~~~~~~~~~~(22)[/math]

Среди всех функций и нужно найти ту, которая дает минимальное значение интегралу


[math]I(x)=\iint\limits_{B}F(x,y,u,u'_x,u'_y)\,dx\,dy.~~~~~~~~~(23)[/math]

Задание граничных значений (22) для функции [math]u[/math] в пространстве [math](x,y,u)[/math] означает задание пространственного контура [math]\Gamma[/math], лежащего над [math]l[/math].


Мы рассматриваем всевозможные поверхности [math]S[/math], проходящие через [math]\Gamma[/math] и лежащие над [math]B[/math]. Среди них хотим найти ту, для которой интеграл (23) будет минимальным.


По-прежнему считаем функцию, дающую минимум интегралу, существующей; обозначим ее через и. Одновременно рассмотрим другую функцию


[math]\overline{u}=u+\alpha\eta(x,y)[/math]

где [math]\eta(x,y)[/math] — любая непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на [math]l[/math]. Тогда функция

[math]I(\overline{u})=\iint\limits_{B}F(x,y,u+\alpha\eta,u'_x+\alpha\eta'_x,u'_y+\alpha\eta'_y)\,dx\,dy=\Phi(x)[/math]

должна иметь минимум при [math]\alpha=0[/math]. В таком случае первая производная от нее должна обращаться в нуль при [math]\alpha=0[/math]

[math]\Phi'(0)=0,[/math]
или
[math]\iint\limits_{B}(F'_u\eta+F'_{u'_x}\eta'_x+F'_{u'_y}\eta'_y)\,dx\,dy=0.~~~~~~~~~(24)[/math]

Преобразуем два последние слагаемые при помощи формулы Остроградского.


[math]\begin{gathered} \iint\limits_{B}(F'_{u'_x}\eta'_x+F'_{u'_y}\eta'_y)\,dx\,dy= \iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}(F'_{u'_x}\eta)+ \frac{\partial}{\partial y}(F'_{u'_y}\eta)\right]\!dx\,dy-\iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}+\frac{\partial}{\partial y}F'_{u'_y}\right]\!\eta\,dx\,dy=\\[2pt] =\int\limits_{l}[F'_{u'_x}\cos(n,x)+F'_{u'_y}\cos(n,y)]\eta\,ds-\iint\limits_{B}\!\left[\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}+ \frac{\partial}{\partial y}F'_{u'_y}\right]\!\eta\,dx\,dy. \end{gathered}[/math]

Контурный интеграл по [math]l[/math] должен исчезнуть, так как на контуре [math]l[/math] функция [math]\eta[/math] равна нулю, и условию (24) мы можем придать форму


[math]\iint\limits_{B}\!\left[F'_u-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}-\frac{\partial}{\partial x}F_{u'_x}\right]\!\eta\,dx\,dy=0.[/math]

Это равенство должно быть выполнено для всякой функции [math]\eta[/math], непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на границе [math]l[/math].


Отсюда, подобно предыдущему, можно заключить, что во всех точках области [math]B[/math] должно быть выполнено уравнение


[math]F'_u-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}-\frac{\partial}{\partial x}F'_{u'_x}=0.~~~~~~~~~(25)[/math]

Таким образом, если функция и дает минимум интегралу (23), то она должна удовлетворять уравнению (25) в частных производных.


Как и во всех предшествующих задачах, здесь устанавливается связь между вариационной проблемой о минимуме интеграла и граничной задачей дифференциального уравнения (в данном случае — уравнения в частных производных).




Пример. Отклонение [math]u(x,y)[/math] точек мембраны с деформированным краем должно быть найдено из условия минимума потенциальной энергии


[math]\frac{\mu}{2}\iint\limits_{B}(u'_x^2+u'_y^2)\,dx\,dy[/math]

при заданных граничных значениях [math]u\,\vline\,_l=\varphi[/math].

Опуская для простоты постоянный множитель [math]\mu[/math], можно считать


[math]F=\frac{1}{2}(u'_x^2+u'_y^2),[/math]

и уравнение (25) будет иметь вид
[math]-\frac{\partial}{\partial x}\,u'_x-\frac{\partial}{\partial y}\,u'_y=0[/math]
или
[math]\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.[/math]

Следовательно, определение отклонений точек мембраны приводится к нахождению гармонической функции [math]u[/math], принимающей на контуре области заданные значения [math]\varphi[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved