Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Задача Коши и Уравнение Эйлера

Задача Коши и Уравнение Эйлера


Как известно, задача Коши для линейного неоднородного уравнения y^{(n)}+p_1y(n-1)+\ldots+p_ny=f(x) состоит в следующем: найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (данным Коши)


y(x_0)=y_0, \quad y'(x_0)=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{0}^{(n-1)}.

Пример 11. Найти частное решение уравнения


y''-y=4e^x,
(22)

удовлетворяющее начальным условиям


y(0)=0,~y'(0)=1.
(23)

Решение. Находим частное решение уравнения


y=C_1e^x+C_2e^{-x}+2xe^x.
(24)

Для решения поставленной начальной задачи Коши требуется определить значения постоянных C_1 и C_2 так, чтобы решение (24) удовлетворяло начальным условиям (23). Используя условие y(0)=0, получаем C_1+C_2=0. Дифференцируя (24), найдем


y'=C_1e^x-C_2e^{-x}+2e^x+2xe^x

откуда, в силу условия y'(0)=1, будем иметь C_1-C_2=-1. Для отыскания C_1,\,C_2 получили систему


\begin{cases}C_1+C_2=0,\\C_1-C_2=-1,\end{cases}

решая которую находим C_1=-\frac{1}{2}, C_2=\frac{1}{2}. Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (24), получаем решение исходной задачи:


y=-\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}+2xe^x=2xe^x-\operatorname{sh}x\,.



Пример 12. Найти частное решение уравнения


y''+4y'+5y=8\cos{x},
(25)

ограниченное при x\to-\infty.


Решение. Общее решение данного уравнения


y=e^{-2x}(C_1\cos{x}+C_2\sin{x})+2(\cos{x}+\sin{x}).
(26)

При x\to-\infty величина e^{-2x}\to+\infty и при любых C_1 и C_2, не равных одновременно нулю, первое слагаемое правой части (26) будет функцией, неограниченной при x\to-\infty, а второе слагаемое — функцией, ограниченной при всех значениях x. Следовательно, только при C_1=C_2=0 имеем ограниченное при x\to-\infty решение уравнения (25), именно


y=2\cos{x}+2\sin{x}\,.
(27)

Более того, решение (27) уравнения (25) ограниченно при всех x:


|y|=|2\cos{x}+2\sin{x}|\leqslant2(|\cos{x}|+|\sin{x}|)<4 для всех x\in(-\infty,+\infty).



Пример 13. Найти частное решение уравнения


y''-3y'+2y=4+2e^{-x}\cos{x},
(28)

удовлетворяющее условию y\to2 при x\to+\infty.


Решение. Общее решение данного уравнения


y=C_1e^x+C_2e^{2x}+2+e^{-x}(\sin{x}-\cos{x}).
(29)

При любых значениях постоянных C_1 и C_2, не равных одновременно нулю, решение (29) является неограниченной функцией при x\to+\infty. При C_1=C_2=0 решением уравнения (28) будет функция y=2+e^{-x}(\sin{x}-\cos{x}) для которой, очевидно, выполняется условие \lim_{x\to+\infty}y=2. Таким образом, функция y=2+(\sin{x}-\cos{x})e^{-x} будет искомым частным решением.




Уравнения Эйлера


Дифференциальные линейные уравнения вида


a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}xy'+a_ny=0,
(30)

где все a_i постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого переменного e^t преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:


b_0y^{(n)}(t)+b_1y^{(n-1)}(t)+\ldots+b_{n-1}y'_t+b_ny(t)=0
(31)

Замечание 1. Уравнение вида


a_0(ax+b)^ny^{(n)}+a_1(ax+b)^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(ax+b)y'+a_ny=0

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных ax+b=e^t.


Замечание 2. Частные решения уравнения (30) можно сразу искать в виде y=x^k, при этом для к мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (31).




Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера


x^2y''+2xy'-6y=0.

Решение. Первый способ. Делаем в уравнении подстановку x=e^t, тогда


\begin{aligned}y'&=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=e^{-t}\frac{dy}{dt},\\ y''&=\frac{dy'}{dx} =\frac{dy'/dt}{dx/dt}= \frac{1}{e^t}\!\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)\!e^{-t}= e^{-2t}\!\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)\!,\end{aligned}

и уравнение примет вид
\frac{d^2t}{dt^2}+\frac{dy}{dt}-6y=0.

Корни характеристического уравнения \lambda_1=-3,~\lambda_2=2, и общее решение уравнения будет


y=Ce^{-3t}+C_2e^{2t}.

Но так как x=e^t, то y=C_1x^{-3}+C_2x^2 или y=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.


Второй способ. Будем искать решение данного уравнения в виде y=x^k, где k - неизвестное число. Находим y'=kx^{k-1},~y''=k(k-1)x^{k-2}.


Подставляя в уравнение, получаем


x^2k(k-1)x^{k-2}+2xkx^{k-1}-6x^k, или x^k[k^2+k-6]=0.

Но так как x^k \not\equiv 0, то k^2+k-6=0. Корни этого уравнения k_1=-3,~k_2=2. Им соответствует фундаментальная система решений y_1=x^{-3},~y_2=x^2, и общее решение по-прежнему будет


y=C_1x^{-3}+C_2x^2, или y=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.



Неоднородные уравнения Эйлера вида


\sum_{k=0}^{n}a_kx^ky^{(k)}(x)=x^{\alpha}P_m(\ln{x}),

где P_m(u) — многочлен степени m, можно также решать методом подбора по аналогии с решением неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью вида e^{\alpha x}P_m(x).




Пример 2. Решить уравнение Эйлера


x^2y''-xy'+2y=x\ln{x}

Решение. Характеристическое уравнение k(k-1)-k+2=0, или k^2-2k+2 имеет корни, k_{1,2}=1\pm i Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет


y_{\text{o.o}}= x(C_1\cos\ln{x}+C_2\sin\ln{x}).

Частное решение ищем в виде y_{\text{ch}}; имеем


y'_{\text{ch}}=A\ln{x}+B+A, \quad y''_{\text{ch}}=\frac{A}{x}\,.

Подставляя в данное уравнение, получаем


Ax-x(A\ln{x}+A+B)+2x(A\ln{x}+B)=x\ln{x}\,,
или
Ax\ln{x}+Bx=x\ln{x}\,, откуда A=1,~B=0.

Итак, y_{\text{ch}}=x\ln{x}. Общим решением будет


y=x(C_1\cos\ln{x}+C_2\sin\ln{x})+x\ln{x}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved