Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Задача Коши и Уравнение Эйлера

Задача Коши и Уравнение Эйлера


Как известно, задача Коши для линейного неоднородного уравнения [math]y^{(n)}+p_1y(n-1)+\ldots+p_ny=f(x)[/math] состоит в следующем: найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (данным Коши)


[math]y(x_0)=y_0, \quad y'(x_0)=y'_0, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{0}^{(n-1)}.[/math]

Пример 11. Найти частное решение уравнения


[math]y''-y=4e^x,[/math]
(22)

удовлетворяющее начальным условиям

[math]y(0)=0,~y'(0)=1.[/math]
(23)

Решение. Находим частное решение уравнения


[math]y=C_1e^x+C_2e^{-x}+2xe^x.[/math]
(24)

Для решения поставленной начальной задачи Коши требуется определить значения постоянных [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math] так, чтобы решение (24) удовлетворяло начальным условиям (23). Используя условие [math]y(0)=0[/math], получаем [math]C_1+C_2=0[/math]. Дифференцируя (24), найдем


[math]y'=C_1e^x-C_2e^{-x}+2e^x+2xe^x[/math]

откуда, в силу условия [math]y'(0)=1[/math], будем иметь [math]C_1-C_2=-1[/math]. Для отыскания [math]C_1,\,C_2[/math] получили систему

[math]\begin{cases}C_1+C_2=0,\\C_1-C_2=-1,\end{cases}[/math]

решая которую находим [math]C_1=-\frac{1}{2},[/math] [math]C_2=\frac{1}{2}[/math]. Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (24), получаем решение исходной задачи:


[math]y=-\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}+2xe^x=2xe^x-\operatorname{sh}x\,.[/math]



Пример 12. Найти частное решение уравнения


[math]y''+4y'+5y=8\cos{x},[/math]
(25)

ограниченное при [math]x\to-\infty[/math].

Решение. Общее решение данного уравнения


[math]y=e^{-2x}(C_1\cos{x}+C_2\sin{x})+2(\cos{x}+\sin{x}).[/math]
(26)

При [math]x\to-\infty[/math] величина [math]e^{-2x}\to+\infty[/math] и при любых [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], не равных одновременно нулю, первое слагаемое правой части (26) будет функцией, неограниченной при [math]x\to-\infty[/math], а второе слагаемое — функцией, ограниченной при всех значениях [math]x[/math]. Следовательно, только при [math]C_1=C_2=0[/math] имеем ограниченное при [math]x\to-\infty[/math] решение уравнения (25), именно


[math]y=2\cos{x}+2\sin{x}\,.[/math]
(27)

Более того, решение (27) уравнения (25) ограниченно при всех [math]x[/math]:

[math]|y|=|2\cos{x}+2\sin{x}|\leqslant2(|\cos{x}|+|\sin{x}|)<4[/math] для всех [math]x\in(-\infty,+\infty).[/math]



Пример 13. Найти частное решение уравнения


[math]y''-3y'+2y=4+2e^{-x}\cos{x},[/math]
(28)

удовлетворяющее условию [math]y\to2[/math] при [math]x\to+\infty[/math].

Решение. Общее решение данного уравнения


[math]y=C_1e^x+C_2e^{2x}+2+e^{-x}(\sin{x}-\cos{x}).[/math]
(29)

При любых значениях постоянных [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], не равных одновременно нулю, решение (29) является неограниченной функцией при [math]x\to+\infty[/math]. При [math]C_1=C_2=0[/math] решением уравнения (28) будет функция [math]y=2+e^{-x}(\sin{x}-\cos{x})[/math] для которой, очевидно, выполняется условие [math]\lim_{x\to+\infty}y=2[/math]. Таким образом, функция [math]y=2+(\sin{x}-\cos{x})e^{-x}[/math] будет искомым частным решением.




Уравнения Эйлера


Дифференциальные линейные уравнения вида


[math]a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}xy'+a_ny=0,[/math]
(30)

где все [math]a_i[/math] постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого переменного [math]e^t[/math] преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

[math]b_0y^{(n)}(t)+b_1y^{(n-1)}(t)+\ldots+b_{n-1}y'_t+b_ny(t)=0[/math]
(31)

Замечание 1. Уравнение вида


[math]a_0(ax+b)^ny^{(n)}+a_1(ax+b)^{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(ax+b)y'+a_ny=0[/math]

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных [math]ax+b=e^t[/math].

Замечание 2. Частные решения уравнения (30) можно сразу искать в виде [math]y=x^k[/math], при этом для к мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (31).




Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера


[math]x^2y''+2xy'-6y=0.[/math]

Решение. Первый способ. Делаем в уравнении подстановку [math]x=e^t[/math], тогда


[math]\begin{aligned}y'&=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=e^{-t}\frac{dy}{dt},\\ y''&=\frac{dy'}{dx} =\frac{dy'/dt}{dx/dt}= \frac{1}{e^t}\!\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)\!e^{-t}= e^{-2t}\!\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)\!,\end{aligned}[/math]

и уравнение примет вид
[math]\frac{d^2t}{dt^2}+\frac{dy}{dt}-6y=0.[/math]

Корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=-3,~\lambda_2=2[/math], и общее решение уравнения будет


[math]y=Ce^{-3t}+C_2e^{2t}.[/math]

Но так как [math]x=e^t[/math], то [math]y=C_1x^{-3}+C_2x^2[/math] или [math]y=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2[/math].


Второй способ. Будем искать решение данного уравнения в виде [math]y=x^k[/math], где [math]k[/math] - неизвестное число. Находим [math]y'=kx^{k-1},~y''=k(k-1)x^{k-2}[/math].


Подставляя в уравнение, получаем


[math]x^2k(k-1)x^{k-2}+2xkx^{k-1}-6x^k,[/math] или [math]x^k[k^2+k-6]=0.[/math]

Но так как [math]x^k \not\equiv 0[/math], то [math]k^2+k-6=0[/math]. Корни этого уравнения [math]k_1=-3,~k_2=2[/math]. Им соответствует фундаментальная система решений [math]y_1=x^{-3},~y_2=x^2[/math], и общее решение по-прежнему будет


[math]y=C_1x^{-3}+C_2x^2,[/math] или [math]y=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.[/math]



Неоднородные уравнения Эйлера вида


[math]\sum_{k=0}^{n}a_kx^ky^{(k)}(x)=x^{\alpha}P_m(\ln{x}),[/math]

где [math]P_m(u)[/math] — многочлен степени т, можно также решать методом подбора по аналогии с решением неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью вида [math]e^{\alpha x}P_m(x)[/math].



Пример 2. Решить уравнение Эйлера


[math]x^2y''-xy'+2y=x\ln{x}[/math]

Решение. Характеристическое уравнение


[math]k(k-1)-k+2=0,[/math] или [math]k^2-2k+2[/math]

имеет корни, [math]k_{1,2}=1\pm i[/math] Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

[math]y_{\text{o.o}}= x(C_1\cos\ln{x}+C_2\sin\ln{x}).[/math]

Частное решение ищем в виде [math]y_{\text{ch}}[/math]; имеем


[math]y'_{\text{ch}}=A\ln{x}+B+A, \quad y''_{\text{ch}}=\frac{A}{x}\,.[/math]

Подставляя в данное уравнение, получаем


[math]Ax-x(A\ln{x}+A+B)+2x(A\ln{x}+B)=x\ln{x}\,,[/math]
или
[math]Ax\ln{x}+Bx=x\ln{x}\,,[/math] откуда [math]A=1,~B=0.[/math]

Итак, [math]y_{\text{ch}}=x\ln{x}[/math]. Общим решением будет


[math]y=x(C_1\cos\ln{x}+C_2\sin\ln{x})+x\ln{x}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved